Gergonne-Punkt

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (nach dem französischen Mathematiker Joseph Diaz Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Gergonne zeigte, dass sich die Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Berührpunkten des Inkreises mit den jeweils gegenüber liegenden Seiten in einem Punkt – dem Gergonne-Punkt – schneiden.

Dass sich diese Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus $\overline{AZ}=\overline{AY}$ usw. und dem Satz von Ceva.

Eigenschaften

• Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.
• Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.

Koordinaten

Gergonne-Punkt ($X_7$)
Trilineare Koordinaten	$\frac{bc}{b+c-a} \, : \, \frac{ca}{c+a-b} \, : \, \frac{ab}{a+b-c}$ $= \sec^2\frac{\alpha}{2} \, : \, \sec^2\frac{\beta}{2} \, : \, \sec^2\frac{\gamma}{2}$
Baryzentrische Koordinaten	$\frac{1}{b+c-a} \, : \, \frac{1}{c+a-b} \, : \, \frac{1}{a+b-c}$

Weblinks

• Ausführlicher Beweis, auf Englisch
• Eric W. Weisstein. "Gergonne Point." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
• Gergonne-Punkt - eine Visualisierung mit GeoGebra