Gerichtete Menge

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Eine gerichtete Menge bezeichnet in der Mathematik eine nichtleere Menge X versehen mit einer Relation  \triangleleft über X (genannt Richtung), die folgenden Axiomen genügt:


\begin{array}{lll}
  (R1)& \forall x \in X\colon x \triangleleft x & (\text{Reflexivität}) \\
  (R2)& \forall x,y,z \in X\colon (x \triangleleft y) \and (y \triangleleft z) \Rightarrow (x \triangleleft z) & (\text{Transitivität}) \\
  (R3)& \forall x,y \in X\ \exists z \in X\colon (x \triangleleft z) \and (y \triangleleft z) & (\text{Schreibweise: } \mathit{x,y \triangleleft z}) \\
\end{array}

Um die Richtung hervorzuheben (auf einer Menge können durchaus mehrere Richtungen erklärt sein), nennt man auch das geordnete Paar \left(X,\triangleleft \right) gerichtete Menge. Sprechweise für x \triangleleft y ist „x vor y“ oder auch „y nach x“. Unter y \triangleright x versteht man x \triangleleft y.

Äquivalent könnte man eine gerichtete Menge auch als Quasiordnung, bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat, definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

  •  X \subseteq \mathbb{R}^n; \, \rho \in \mathbb{R}^n\ \mathrm{fest}; \, 
     \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow \left\| x - \rho \right\| \le \left\| y - \rho \right\| \quad
(Sprechweise: „\mathit{X} ist auf \mathit{\rho} gerichtet“, „\mathit{\rho} ist Richtungszentrum von \mathit{X}“.) Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion f\colon X \to \mathbb{R}^n für x \to \rho als (Netz-)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.
  •  X = \mathbb{N}; \, \forall n,m \in X: (n \triangleleft m) :\Leftrightarrow n \leq m
  •  X = \mathbb{R}; \, \forall x,y \in X: (x \triangleleft y) :\Leftrightarrow x \leq y
Mit Hilfe dieser gerichteten Mengen lassen sich Grenzwerte von Funktionen respektive Folgen für x \to \infty bzw. n \to \infty, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.
  •  X = \mathbb{N}^2; \, \forall (n,m),(p,q) \in X: ((n,m) \triangleleft (p,q)) :\Leftrightarrow (n \leq p) \and (m \leq q)
Mit dieser Richtung auf \mathbb{N}^2 lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.
  •  M eine beliebige Menge und  X = \mathcal{P}(M); \, \forall A, B \in X: (A \triangleleft B) :\Leftrightarrow A \subseteq B