Gewicht (Funktionalanalysis)
Gewichte werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung eines Zustandes auf einer C*-Algebra. Insbesondere in der Theorie der Von-Neumann-Algebren kann die Tomita-Takesaki-Theorie mittels gewisser Gewichte über den Fall der σ-endlichen Von-Neumann-Algebren hinaus ausgedehnt werden.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es sei eine C*-Algebra, der positive Kegel, das heißt die Menge aller Elemente der Form . Ein Gewicht auf ist eine Abbildung mit
- für alle
- für alle und .[1]
Dabei werden die üblichen Rechenregeln für verwendet, das heißt für alle , für alle und . Zu einem Gewicht definiert man[2]
- = lineare Hülle von
Dann sind und Linksideale und ist eine Unter-C*-Algebra in .
Gewichte mit zusätzlichen Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für Gewichte werden folgende Eigenschaften betrachtet[3]
- Ein Gewicht heißt dicht-definiert, falls bzgl. der Normtopologie dicht ist.
- Ein Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra heißt semi-endlich, falls bzgl. der schwachen Operatortopologie dicht ist.
- Ein Gewicht heißt treu, falls ist.
- Ein Gewicht heißt von unten halbstetig, falls für jedes abgeschlossen ist.
- Ein Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist ein monoton wachsendes Netz in mit Supremum , so gilt .
- Ein Gewicht heißt Spurgewicht, falls zusätzlich für alle unitären Elemente .
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beschränkte Gewichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Funktional auf einer C*-Algebra heißt positiv, falls für alle . Dann ist die Einschränkung offenbar ein Gewicht mit der Besonderheit, dass das Bild in liegt. Ist umgekehrt ein von 0 verschiedenes Gewicht mit Bild in , das heißt mit , so gibt es ein positives Funktional mit
Summen von Funktionalen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist eine Familie positiver Funktionale auf , so ist durch
ein Gewicht aus erklärt.
Ist zum Beispiel einer Orthonormalbasis eines Hilbertraums , so ist die Summe der zugehörigen Vektorzustände ein Gewicht auf , der Von-Neumann-Algebra der stetigen, linearen Operatoren auf . Durch
- .
ist ein normales Spurgewicht definiert und man kann zeigen, dass dieses nicht von der Auswahl der Orthonormalbasis abhängt. Es ist
- die Menge der positiven Elemente der Spurklasse,
- , das heißt ist treu,
- die H*-Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Maße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es sei ein positives Maß auf einem lokalkompakten Hausdorffraum und die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf , die im Unendlichen verschwinden. Dann ist die Abbildung
ein Gewicht. Beschränkte Maße führen zu beschränkten Gewichten, das heißt zu positiven linearen Funktionalen.
Anwendungen und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Normalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wie bei den normalen Zuständen gibt es auch für Gewichte verschiedene Charakterisierungen der Normalität. Für ein Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra sind äquivalent[4]
- ist normal, das heißt für monotone Netze gilt .
- ist additiv, das heißt für jede Familie in mit gilt .
- Ist ein ultraschwach konvergentes Netz mit Limes in , so ist .
- Es gibt eine Familie positiver, normaler Funktionale mit für alle .
- Es gibt eine Familie positiver, normaler Funktionale mit für alle .
GNS-Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die für Zustände bekannte GNS-Konstruktion kann man im Wesentlichen auch für Gewichte auf einer C*-Algebra durchführen.[5] Durch die Formel
wird ein Skalarprodukt auf definiert, die Vervollständigung ist ein Hilbertraum . Die durch
definierten Operatoren auf setzen sich zu stetigen, linearen Operatoren auf fort, so dass
eine Hilbertraum-Darstellung definiert. Ist treu und semi-endlich, so ist treu. Ist ein normales Gewicht auf einer Von-Neumann-Algebra, so ist ebenfalls eine Von-Neumann-Algebra und die Darstellung ist normal.
Tomita-Takesaki-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Auf einer Von-Neumann-Algebra gibt es stets treue, normale und semi-endliche Gewichte. Auf dem Bild der zugehörigen GNS-Darstellung können gewisse Automorphismen definiert werden, die zur Tomita-Takesaki-Theorie führen.[6]
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 7.5.1
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Definition 5.1.1
- ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 5.1: Weights
- ↑ Ola Bratteli, Derek W. Robinson: Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Theorem 2.7.11
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 7.5.3
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, A further extension of modular theory, ab Seite 639