Gezeitenkraft

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Das Gravitationspotential eines Himmelskörpers.
Das Gezeitenpotential ist eine Sattelfläche.

Gezeitenbeschleunigungen sind räumliche Differenzen der Fallbeschleunigung in einem inhomogenen äußeren Gravitationsfeld. Sie sind relativ klein und daher nur in der Schwerelosigkeit von Bedeutung, also im freien Fall, z. B. in einer Umlaufbahn. Sie bewirken eine Verformung ausgedehnter Körper.

Gezeitenkräfte treten auf, wenn innere Kräfte der Verformung entgegenwirken.

Prototypisch für ein inhomogenes Gravitationsfeld ist das Zentralfeld, dessen Potential rechts dargestellt ist. In einem kleinen Bereich (klein im Vergleich zu seinem Abstand vom Zentrum) lässt sich das Potential näherungsweise beschreiben durch die Summe einer schiefen Ebene und einer Sattelfläche. Die Sattelfläche stellt das Gezeitenpotential dar. Der markierte Sattelpunkt liegt im Schwerpunkt des betrachteten Körpers. Der einfachste Probekörper zur Erkundung dieses Potentials ist eine idealisierte Hantel, zwei starr verbundene Punktmassen. Die Hantel gerät unter Zugspannung, wenn sie radial orientiert ist (ihre Massen streben auseinander, im Bild nach vorne links bzw. nach hinten rechts). Sie gerät dagegen unter Druckspannung, wenn sie quer orientiert ist. In schräger Orientierung erfährt sie ein Drehmoment, das sie in die radiale Orientierung dreht – für eine Anwendung siehe Stabilisierung (Raumfahrt).

Ein kugelsymmetrischer Körper im Gezeitenpotential erfährt insgesamt kein Drehmoment, aber die Kräfte, die bei der Hantel das Drehmoment bewirken, sind lokal vorhanden. Sie bewegen auf der Erde, die im Gezeitenpotential vor allem des Mondes rotiert, die Wassermassen der Ozeane hin und her, was an den Küsten zu Ebbe und Flut führt, den Gezeiten.

Weitere Beispiele für die Wirkung von Gezeitenkräften sind die Abbremsung der Erdrotation, die gebundene Rotation des Erdmondes, der Vulkanismus des Jupitermondes Io und das Auseinanderreißen von Kometen oder Galaxien bei Beinahezusammenstößen mit Jupiter bzw. anderen Galaxien.

Entstehung und Größe der Gezeitenbeschleunigung

Die Betrachtungen lassen sich sowohl mit einem Bezugssystem außerhalb des Himmelskörpers als auch mit dem Himmelskörper selbst als Bezugssystem anstellen. Beide Vorgehensweisen führen zwingend zu gleichen Ergebnissen.

Bezugssystem außerhalb des betrachteten Himmelskörpers

Für die Gezeitenbeschleunigung ag, die eine Masse M maximal auf der Oberfläche eines im Abstand r befindlichen Himmelskörpers (Durchmesser 2R) verursacht, gilt:

(1)     a_g \approx \mp \ 2R \ \frac{GM}{r^3}
Herleitung

Die Gravitationsbeschleunigung a eines Körpers in einem äußeren Gravitationsfeld der Masse M ist mit der Gravitationskonstante G und dem Abstand r des Körperschwerpunktes zu M wie folgt gegeben:

(2)     a_m = \frac{GM}{r^2}

Auf ein auf der Verbindungslinie zwischen Körperschwerpunkt und der Masse, die das Gravitationsfeld erzeugt, und auf der Körperoberfläche liegendes Massenelement wirkt die Beschleunigung

(3)     a_r = \frac{GM}{(r\pm R)^2}.

Der Punkt mit r + R liegt auf der der Masse abgewandten Seite und ist von ihr am weitesten entfernt. Der Punkt mit r - R liegt auf der ihr zugewandten Seite und ist ihr am nächsten. Die Beschleunigungen dieser beiden Massenelemente sind wie ihre Abstände von der Masse die beiden Extremwerte.

Die Gezeitenbeschleunigung dieser Elemente ist jeweils die Differenz zwischen ihrer Gravitationsbeschleunigung und der Gravitationsbeschleunigung des Körperschwerpunkts:

(4)     a_g = \frac{GM}{(r\pm R)^2 \ } - \frac{GM}{r^2}= \frac{GM}{r^2} \left(\frac{1}{(1\pm R/r)^2} - 1 \right) \approx \ \frac{GM}{r^2} ((1\mp \ 2R/r) -1) =  \mp \ 2R\frac{GM}{r^3}

Die Näherung folgt aus der Reihenentwicklung um R/r = 0 (R << r) und Abbruch nach dem linearen Glied von

(5)     \frac{1}{(1\pm R/r)^2} = 1 \mp \ 2R/r + 3(R/r)^2 \dots.

Die Gezeitenbeschleunigung weist auf beiden Seiten vom Körperschwerpunkt weg. Sie ist aber auf beiden Seiten nicht ganz gleich groß, was in obiger Formel zu erkennen ist, wenn man den Näherungsteil weglässt.

Rechenbeispiel - Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche durch den Erdmond

Mit den Konstanten

G = 6,67·10−14 m3/(g s2), die Gravitationskonstante
M = 7,34·1025 g, die Masse des Mondes
r = 3,84·108 m, die mittlere Entfernung des Mondes
R = 6,37·106 m, der mittlere Radius der Erde

ergibt sich

a_\text{g} \approx \mp \ 11 \cdot 10^{-7} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

für die Gezeitenwirkung des Mondes auf die Erde.

Wendet man die in obiger Formel enthaltene Näherung nicht an, ergibt die Rechnung

a_\text{r1} = - 10{,}75 \cdot 10^{-7} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}         für die dem Mond abgewandte Seite und
a_\text{r2} = + 11{,}30 \cdot 10^{-7} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}         für die dem Mond zugewandte Seite.

Im Schwerpunkt der Erde ist die vom Mond stammende Gravitationsbeschleunigung

a_\text{m} = \frac{GM}{r^2} = 332 \cdot 10^{-7} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}.

Somit ist die Gezeitenbeschleunigung etwa 30-mal kleiner als die Gravitationsbeschleunigung.

Die Erdbeschleunigung 10 m/s2 ist etwa zehnmillionenmal größer als die Gezeitenbeschleunigung.

Rechenbeispiel - Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche durch die Sonne

Mit den Konstanten

M = 1,989·1033 g, der Masse der Sonne und
r = 1,496·1011 m, der mittleren Entfernung der Sonne

ergibt sich

a_\text{g} \approx \mp \ 5{,}05 \cdot 10^{-7} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

für die von der Sonne herrührende Gezeitenbeschleunigung und

a_\text{m} = 5{,}93 \cdot 10^{-3} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

für die Gravitationsbeschleunigung.

Die Gezeitenbeschleunigung skaliert mit der dritten Potenz des Abstandes vom Gravitationszentrum und fällt schneller ab als die Gravitationsbeschleunigung, die quadratisch skaliert. Dies führt dazu, dass die Gezeitenbeschleunigung der viel weiter entfernten Sonne kleiner ist, obwohl sie die 2,7·107-fache Masse und folglich die fast 180-fache Gravitationsbeschleunigung des Mondes hat.

Vergleich der Gezeitenbeschleunigung von Mond und Sonne mit denen einiger Planeten
Je näher ein Planet seinem Zentralgestirn (Gravitationsquelle) kommt, desto mehr wird er zu einem Ellipsoid verformt.
Die bogenförmige Markierung ist die Roche-Grenze.
Himmelskörper Rel. Beschl. Auslenkung
Mond 1 30 cm
Sonne 0,45 14 cm
Venus in unterer Konjunktion 5·10−5 17 µm
Jupiter 6·10−6 2 µm
Mars in Opposition 2·10−6 0,5 µm
Mars in Konjunktion 1·10−8 3 nm

Die tabellierte Auslenkung ist der Anstieg des Wasserspiegels auf dem offenen Meer. Die allgemeine Wirkung der beidseits vom Körperschwerpunkt wegweisenden Gezeitenbeschleunigung ist die Verformung des Körpers zu einem Ellipsoid (siehe Abbildung).

Betrachteter Himmelskörper als Bezugssystem

Erde und Mond kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt (Baryzentrum), der sich innerhalb der Erde befindet (sonst nicht maßstabsgetreue Illustration).
Die nicht rotierend gedachte Erde kreist um ihren mit dem Mond gemeinsamen Schwerpunkt (Baryzentrum): Alle Orte auf ihr sind der gleichen Zentrifugalkraft (blaue Strecken) unterworfen.

Die quantitative Beschreibung ist bei dieser Betrachtungsweise mit der oben angeführten identisch, denn die in die Betrachtung eingeführte Zentrifugalkraft hat den gleichen Wert wie die dort im Vergleich enthaltene Gravitationskraft; d. h., die Zentrifugalbeschleunigung ist gleich der im Schwerpunkt wirkenden Gravitationsbeschleunigung a_\text{m}. Diese Art der Betrachtung hat einen anschaulichen Vorteil, weil an den betreffenden Oberflächenstellen Bilanzen mit dort lokalisierten Kräften gebildet werden. Das „naive“ Verständnis, dass durch Anziehung des Mondes auf der ihm abgewandten Seite kein Kraftüberschuss in Gegenrichtung entstehen könne, wird dadurch nicht strapaziert, denn auf der dem Mond abgewandten Seite ist dessen Anziehung zwar kleiner, sie wird aber von der in Gegenrichtung wirkenden Zentrifugalkraft übertroffen.

Die Gravitationskraft auf den Himmelskörper ist die Radialkraft oder Zentripetalkraft, die seine Bewegung auf einer Kreisbahn (allgemein: auf gekrümmter Bahn) um die die Gravitation ausübende Masse bewirkt (allgemein: um den gemeinsamen Schwerpunkt von Körper und ausübender Masse, das Baryzentrum). Beim Kreisen des Himmelskörpers (Abbildung links) um das Baryzentrum entsteht in jedem seiner Punkte eine Zentrifugalkraft von gleichem Betrag (Abbildung rechts: Umlaufen ohne Rotation, auch Revolution genannt). Diese Kraft ist immer von der ausübenden Masse weg gerichtet.

Für die Zentrifugalbeschleunigung, die ein auf einem Kreis mit dem Radius r’ und mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufender Massepunkt erfährt, gilt:

(6)     a_z = r'\cdot \omega^2

Für die an den betreffenden Oberflächenstellen mit dort lokalisierten Kräften gebildeten Bilanzen wird die in Gleichung (4) enthaltene Gleichung (2) durch Gleichung (6) ersetzt. Es entsteht:

(7)     a_g = \frac{GM}{(r\pm R)^2} - r'\cdot \omega^2
Kontrollrechnung - Gezeitenbeschleunigung auf der Erdoberfläche durch den Erdmond

Zu kontrollieren ist lediglich die Übereinstimmung der Werte für die Zentrifugalbeschleunigung (Himmelskörper als Bezugssystem) mit der Gravitationsbeschleunigung (Bezugssystem außerhalb des betrachteten Himmelskörpers, siehe oben):

Gravitationsbeschleunigung         a_\text{m} = \frac{GM}{r^2} = 33{,}2 \cdot 10^{-6} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}   (siehe oben)

Zentrifugalbeschleunigung           a_z = r'\cdot \omega^2 = 33{,}2 \cdot 10^{-6} \,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}

r’ = 4,683·106 m ist der mittlere Radius der Revolutions-Bahn der Erde.
ω = 2,662·10−6·1/s, ist die Winkelgeschwindigkeit der Revolution (siderischer Monat = 27,32 Tage).

Roche-Grenze

Hauptartikel: Roche-Grenze

Ist der Abstand eines Trabanten zu seinem Zentralkörper sehr gering, so werden die Gezeitenkräfte sehr stark.

Um die Stabilität eines Körpers zu untersuchen, betrachtet man die Gezeitenkräfte im Vergleich zu den Gravitationskräften, die den Körper selbst zusammenhalten. Die Stabilitätsgrenze ist hierbei erreicht, wenn die Gezeitenkräfte größer werden als die Gravitationskräfte, wobei man zur Abschätzung den Trabanten in zwei Teilkörper unterteilt, mit jeweils der halben Trabantenmasse M_t/2 in einem Abstand, der seinem Radius R_t entspricht:

G \frac{M_t^2}{4R_t^2} \ge cG \frac{MM_t}{r^3} \cdot R_t

mit dem Abstand r von der Zentralmasse M, c ist hierbei eine Konstante von der Größenordnung 1. Mit den mittleren Dichten ρ und ρt des Zentralkörpers und des Trabanten sowie dem Radius R des Zentralkörpers erhält man:

\frac{r}{R} \ge (4c)^{1/3} \left( \frac{\rho}{\rho_t} \right)^{1/3}

Eine genauere Rechnung ergibt:

\frac{r}{R} \ge 2{,}44 \left( \frac{\rho}{\rho_t} \right)^{1/3}

Bei einem Abstand von weniger als dem 2,44-Fachen des Radius seines Zentralkörpers wird ein Trabant mit gleicher Dichte durch die Gezeitenkräfte auseinandergerissen bzw. kann sich gar nicht erst bilden. Dieser Abstand wird nach Édouard Albert Roche, der diese Abschätzung erstmals durchgeführt hat, „Roche-Grenze“ genannt.

Diese Überlegungen gelten für größere Körper, die durch ihre eigene Schwerkraft zusammengehalten werden (siehe Zwergplanet). Bei kleineren Körpern überwiegt die Stabilität durch Kohäsionskräfte. Bei künstlichen Satelliten spielt der Zusammenhalt durch die eigene Gravitation überhaupt keine Rolle.

Kosmische Beispiele

Roche-Grenze unterschritten

Die Saturnringe liegen zum großen Teil innerhalb der Roche-Grenze des Saturns. Dies ist neben den Hirtenmonden, deren Stabilität durch innere Kohäsionskräfte erhöht wird, der Hauptgrund für die Stabilität des Ringsystems.

Komet Shoemaker-Levy 9

Der Komet Shoemaker-Levy 9 passierte im Juli 1992 den Planeten Jupiter und zerbrach dabei in 21 Fragmente zwischen 50 und 1000 m Größe, die sich auf einer mehrere Millionen Kilometer langen Kette aufreihten. Zwischen dem 16. und dem 22. Juli 1994 schlugen diese Bruchstücke dann auf Jupiter auf.

Bei engen Begegnungen von Sternen mit einem Abstand, der geringer ist als die Roche-Grenze, werden diese in einer sogenannten Sternkollision stark verändert, meist wird der kleinere zerrissen.

Roche-Grenze nicht unterschritten

Die Gezeitenwirkung des Jupiters verhindert, dass sich der Asteroidengürtel zu einem Planeten zusammenballt. Wenn zum Beispiel zwei Asteroiden Jupiter passieren, zieht dieser den ihm näher gelegenen stärker an als den entfernteren. Die Distanz zwischen den Asteroiden vergrößert sich.

Auf der Erde führen die Gezeiten in den Meeren zu Ebbe und Flut. Die Gezeiten wirken jedoch auch auf den Erdmantel selbst, sodass auch die Kontinente selbst den Gezeiten mit einer Verzögerung von zwei Stunden folgen, allerdings ist der Effekt mit Vertikalbewegungen von 20 bis 30 Zentimeter deutlich geringer als die mehrere Meter hohen Tiden der Meere.

Durch die Gezeiten in großen Meeren können durch den Tidenhub lokal sehr starke Strömungen entstehen. Die dabei vorhandene kinetische Energie kann mittels eines Gezeitenkraftwerks genutzt werden.

Gezeitenreibung (Roche-Grenze nicht unterschritten)

Die Gravitationskräfte, die einander umkreisende Körper aufeinander ausüben, bewirken eine meist schwache Kopplung der Rotation der beteiligten Körper (je um ihre eigene Achse) an die sogenannte Revolution umeinander. Dabei wird Rotationsdrehimpuls in Bahndrehimpuls verwandelt.[1] Folgende Darstellung des Mechanismus, also der Ursache eines Drehmomentes zwischen Rotation und Revolution, spricht von einem rotierenden und einem fernen Körper; falls beide rotieren, tritt der Effekt auch mit vertauschten Rollen auf.

Entstehung des Drehmomentes bei der Gezeitenreibung (vereinfacht)

Unter der Gezeitenbeschleunigung des fernen Körpers nimmt der rotierende Körper eine leicht längliche (prolate) Form an. Aufgrund innerer Reibung bei der Verformung ist die Längsachse nicht auf den fernen Körper ausgerichtet, sondern in Rotationsrichtung verdreht. Die Wechselwirkung des fernen Körpers mit dem ihm zugewandten Ende des rotierenden Körpers ist stärker als mit dem abgewandten Ende. Der effektive Angriffspunkt für die Gesamtkraft, das sogenannte Gravizentrum, liegt nicht mehr auf der Verbindungslinie der Baryzentren der beiden Körper, sondern ist etwas in Rotationsrichtung verschoben, was das Drehmoment erklärt.

Das Zeitintegral des Drehmoments ist der Drehimpuls, den der rotierende Körper verliert. Drehimpuls ist eine vektorielle Erhaltungsgröße. Was der rotierende Körper an Drehimpuls verliert, addiert sich vektoriell zum Bahndrehimpuls des Systems. Dadurch nimmt der Bahndrehimpuls betragsmäßig zu, falls die Richtungen passen (oder ab, falls der ferne Körper gegen die Rotationsrichtung umläuft). Höherer Bahndrehimpuls bewirkt nicht etwa eine höhere, sondern eine geringere Bahngeschwindigkeit – auf einer größeren Bahn, siehe das dritte Keplersche Gesetz.

Auf lange Sicht kann die Rotation in eine gebundene Rotation übergehen. Dieses Schicksal trifft meist den kleineren Körper zuerst, wie beim Erdmond. Solange die Rotation noch viel schneller ist als die Revolution, wird der größte Teil der Rotationsenergie, die der rotierende Körper verliert, nicht als Arbeit am fernen Körper geleistet, sondern geht überwiegend als Wärme verloren.

Beispiel Erde-Mond-System

Zum Drehmoment zwischen Erde und Mond tragen hauptsächlich die Gezeiten bei. Die Verformung des Erdmantels ist auf der kurzen Zeitskala der Erdrotation weit überwiegend elastisch und daher wenig phasenverschoben gegenüber der Gezeitenbeschleunigung. Die Atmosphäre dagegen hat zu wenig Masse, um viel beizutragen. Für Zahlenangaben zu aktuellen Änderungsraten siehe Erdrotation#Langfristige Änderungen und Mondbahn#Säkulare Akzeleration. Für eine Abschätzung der Mondbahn im Endzustand der Korotation, falls die Sonne nicht vorher zum Roten Riesen wird, siehe Mond#Künftige Entwicklung.

Auswirkungen, zusammengefasst

  • Durch Gezeitenkräfte verformen sich Himmelskörper, sie werden geringfügig auf der Linie durch ihren Schwerpunkt und den des anderen Körpers in die Länge gezogen. Rotiert der Himmelskörper, so wird er dabei „durchgewalkt“, ähnlich wie ein platter Reifen am Auto. Dadurch wird Rotationsenergie in Wärme umgewandelt; die Rotation verlangsamt sich dadurch so lange, bis sich eine gebundene Rotation einstellt. Der Erdmond weist der Erde aufgrund dieses Effektes immer die gleiche Seite zu, und der Erdkern wird erhitzt. Beim Jupitermond Io sind es Gezeitenkräfte, die die Wärmeenergie für den Vulkanismus bereitstellen.
  • Die Verformung des Erdkörpers ist gering, dagegen ist die Auswirkung auf das beweglichere Wasser an seiner Oberfläche deutlich. Es entstehen die maritimen Gezeiten, woher der Name Gezeitenkraft stammt.
  • In Doppelsternsystemen können Gezeitenkräfte einen Materiefluss von einem Stern zum anderen verursachen, was in bestimmten Fällen zu einer Supernova (Typ 1) führen kann.
  • Sind die Gezeitenkräfte stärker als die Kräfte, die ein Objekt zusammenhalten, so können sie auch zum Zerreißen des Objekts führen, so geschehen beim Kometen Shoemaker-Levy 9 (siehe Roche-Grenze).

Weblinks

Einzelnachweise

  1. selten umgekehrt, weil Rotationen typischerweise größere Winkelgeschwindigkeiten haben als Bahnbewegungen