Gleichgradige Integrierbarkeit

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Die gleichgradige Integrierbarkeit ist in der Mathematik eine Verstärkung des Begriffs der Integrierbarkeit. Sie ist vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie von Bedeutung.

Definition[Bearbeiten]

Sei \mu ein endliches Maß. Eine Familie \mathcal{F}\subseteq L^1(\mu) von \mu-integrierbaren Funktionen heißt gleichgradig integrierbar, falls

\lim_{c\to\infty}\sup_{f\in\mathcal{F}}\int\limits_{\{|f|>c\}}|f|\, \mathrm d\mu=0

gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jedes einelementige \mathcal{F} ist gleichgradig integrierbar.
  • Existiert ein g\in L^1(\mu), sodass |f|\le |g| für alle f\in\mathcal{F}, so ist \mathcal{F} gleichgradig integrierbar.
  • Eine Folge f_n von messbaren Funktionen konvergiert genau dann im Mittel, also bezüglich der L^1-Norm gegen eine Funktion f, wenn sie dem Maße nach konvergiert und gleichgradig integrierbar ist.

Literatur[Bearbeiten]

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.