Gleichmäßige Stetigkeit

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Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Definition[Bearbeiten]

Sei D eine Teilmenge von \R, kurz D\subseteq\R.

Eine Abbildung f\colon D\rightarrow \R heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D\colon|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von D gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass \delta nur von \varepsilon und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle x_0 abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite \varepsilon kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite \delta finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten \varepsilon;\delta geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf (0, \infty)).

Beispiele[Bearbeiten]

Betrachte die Funktion

 f\colon\R^+ \rightarrow \R^+ mit  f(x) = x^2:

Quadratic-function-uniform-continuity.svg

Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man zwei Punkte mit einem Abstand kleiner als \delta wählt, desto größer wird der Abstand der beiden Funktionswerte. Dies entspricht nicht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Der Abstand der Funktionswerte muss für jede Wahl zweier solcher Stellen kleiner als ein vorgegebenes \varepsilon sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von f auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Heine.

Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion

f\colon\R^+\rightarrow\R^+ mit f(x) = \sqrt{x}

die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.

Verallgemeinerung: metrische Räume[Bearbeiten]

Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:

Seien (X,d_X), (Y,d_Y) zwei metrische Räume. Eine Abbildung f\colon X\rightarrow Y heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in X\colon d_X(x, x_0)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x), f(x_0))<\varepsilon.

Verallgemeinerung: uniforme Räume[Bearbeiten]

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion f\colon X \to Y zwischen zwei uniformen Räumen (X, \mathcal U_X) und (Y, \mathcal U_Y) gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also (f \times f)^{-1}(\mathcal U_Y) \subset \mathcal U_X.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Es gilt: Ist f gleichmäßig stetig auf einer Menge M, dann ist f auch stetig in jedem Punkt x_0 \in M und sogar stetig fortsetzbar auf den Abschluss \overline{M}. Umgekehrt gibt es jedoch stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind.

Ein einfaches Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger Stetigkeit ist der Satz von Heine: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.

Ist (x_n)_{n \in \N} eine Cauchy-Folge im Raum M und ist f \colon M \to N gleichmäßig stetig, so ist auch (f(x_n))_{n \in \N} eine Cauchy-Folge in N. Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel M = (0,1], f(x) = \tfrac1x und x_n = \tfrac1n zeigt.

Im \R^n: Polstellen kann es auf einer gleichmäßig stetigen Funktion nicht geben, da bei gegen unendlich strebender Steigung der Abstand der Funktionswerte beliebig groß wird, also kein reelles \delta existieren kann.

Spezielle Formen der gleichmäßigen Stetigkeit sind Hölder- und Lipschitz-Stetigkeit.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]