Gleichseitiges Dreieck

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Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen drei Seiten alle gleich lang sind. Dann sind – beim Dreieck – auch alle drei Winkel gleich groß und betragen 60°. Gleichseitige Dreiecke sind also zugleich gleichwinklige oder reguläre Dreiecke, sie werden auch regelmäßige Dreiecke genannt. Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich. Gleichseitige Dreiecke sind rotationssymmetrisch (gegenüber Rotationen um den Mittelpunkt um 120° oder Vielfache davon), spiegelsymmetrisch (bzgl. der Mittelsenkrechten) und spitzwinklig. Ihre Isometriegruppe ist die Diedergruppe D_3. Die Ebene ist mit gleichseitigen Dreiecken pflasterbar.

Berechnung und Konstruktion[Bearbeiten]

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck ist durch eine Seitenlänge vollständig bestimmt (siehe Kongruenzsatz).

Formeln zum gleichseitigen Dreieck
Seitenlängen  a = b = c \,
Winkel  \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ
Höhe  h=\frac{\sqrt{3}}{2}a
Flächeninhalt  A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
Umfang  u \, = \, 3 \cdot a
Umkreisradius  r_U \, = \, \frac{\sqrt{3}}{3}a
Inkreisradius  r_I \, = \, \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac 1 2 \cdot r_U

Ausgezeichnete Punkte[Bearbeiten]

Im gleichseitigen Dreieck fallen Höhe, Mittelsenkrechte (Seitensymmetrale), Seitenhalbierende (Schwerelinie) und Winkelhalbierende zu einer Seite jeweils zusammen. Daher sind auch der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt derselbe Punkt. Dieser Mittelpunkt teilt die Strecken im Verhältnis 2:1.

Begriffsgeschichte[Bearbeiten]

Nach Euklid wurde ein gleichschenkliges Dreieck dadurch definiert, dass es genau zwei gleich lange Seiten besitzt, wohingegen es heute überwiegend als ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten definiert wird. Die moderne Definition schließt damit im Gegensatz zu der des Euklid das gleichseitige Dreieck (mit drei gleich langen Seiten) als einen Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ein.[1]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Saul Stahl: Geometry from Euclid to Knots. Prentice-Hall, 2003, ISBN 0-13-032927-4, S. 37 (Auszug (Google))