Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen drei Seiten alle gleich lang sind. Dann sind – beim Dreieck – auch alle drei Winkel gleich groß und betragen 60°. Gleichseitige Dreiecke sind also zugleich gleichwinklige oder reguläre Dreiecke, sie werden auch regelmäßige Dreiecke genannt. Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich. Gleichseitige Dreiecke sind rotationssymmetrisch (gegenüber Rotationen um den Mittelpunkt um 120° oder Vielfache davon), spiegelsymetrisch (bzgl. der Mittelsenkrechten) und spitzwinklig. Ihre Isometriegruppe ist die Diedergruppe $D_3$. Die Ebene ist mit gleichseitigen Dreiecken pflasterbar.

Berechnung und Konstruktion

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck ist durch eine Seitenlänge vollständig bestimmt (siehe Kongruenzsatz).

Formeln zum gleichseitigen Dreieck

Seitenlängen	$a = b = c \,$
Winkel	$\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$
Höhe	$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Flächeninhalt	$A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Umfang	$u \, = \, 3 \cdot a$
Umkreisradius	$r_U \, = \, \frac{\sqrt{3}}{3}a$
Inkreisradius	$r_I \, = \, \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac 1 2 \cdot r_U$

Ausgezeichnete Punkte

Im gleichseitigen Dreieck fallen Höhe, Mittelsenkrechte (Seitensymmetrale), Seitenhalbierende (Schwerelinie) und Winkelhalbierende zu einer Seite jeweils zusammen. Daher sind auch der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt derselbe Punkt. Dieser Mittelpunkt teilt die Strecken im Verhältnis 2:1.

Siehe auch

• Dreieck, allgemein
• Gleichschenkliges Dreieck
• Rechtwinkliges Dreieck
• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Weblinks

•  Commons: Gleichseitiges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
•  Wikibooks: Gleichseitiges Dreieck – Lern- und Lehrmaterialien
• Rechner und Theorie zum gleichseitigen Dreieck
• Eric W. Weisstein: gleichseitiges Dreieck (engl.). In: MathWorld. (englisch)
• Gleichseitiges Dreieck auf mathematische-basteleien.de