Globaler Körper

Globale Körper sind die zentralen Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie verallgemeinern den Körper der rationalen Zahlen.

Definition

Als globale Körper bezeichnet man

• einerseits algebraische Zahlkörper, d.h. endliche Erweiterungen des Körpers $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen
• und andererseits algebraische Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1, d.h. endliche Erweiterungen von $\mathbb F_p(T)$ für eine Primzahl $p$ und eine Unbestimmte $T$.

Axiomatische Charakterisierung nach Artin

Sei $K$ ein Körper mit einer Menge von Primstellen $\mathfrak{V}$, sodass folgende Axiome erfüllt sind.

• Für alle $a \in K^\times$ ist $|a|_v = 1$ für fast alle $v \in \mathfrak{V}$ und es gilt $\prod_{v \in \mathfrak{V}}|a|_v = 1$ (Produktformel).
• Es gibt ein $v \in \mathfrak{V}$, sodass $K_v$ ein lokaler Körper ist.

Dann ist $K$ ein globaler Körper und $\mathfrak{V}$ besteht aus allen Primstellen von $K$.