Goldbachsche Vermutung

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Brief von Goldbach an Euler vom 7. Juni 1742 (lateinisch-deutsch)[1]

Die Goldbachsche Vermutung, benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach, ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie. Sie gehört als eines der Hilbertschen Probleme zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik.

Starke (oder binäre) Goldbachsche Vermutung[Bearbeiten]

Die starke (oder binäre) Goldbachsche Vermutung lautet wie folgt:

Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

Mit dieser Vermutung befassten sich bis in die heutige Zeit viele Zahlentheoretiker, ohne sie beweisen oder widerlegen zu können.

Tomás Oliveira e Silva zeigte mittels eines Verteiltes-Rechnen-Projekts mittlerweile (Stand April 2012) die Gültigkeit der Vermutung für alle Zahlen bis 4·1018. Ein Beweis dafür, dass sie für jede beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies natürlich nicht.

Nachdem der britische Verlag Faber & Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million Dollar auf den Beweis der Vermutung ausgelobt hatte, wuchs auch das öffentliche Interesse an dieser Frage. Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt, da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war.

Schwache (oder ternäre) Goldbachsche Vermutung[Bearbeiten]

Die schwächere Vermutung

Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden.

ist als ternäre oder schwache Goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist teilweise gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung richtig ist,[2] und andererseits ist gezeigt, dass sie für genügend große Zahlen gilt (Satz von Winogradow, siehe Verwandte Resultate).

Am 13. Mai 2013 kündigte der peruanischstämmige Mathematiker Harald Helfgott einen mutmaßlichen Beweis der ternären Goldbachschen Vermutung für alle Zahlen \geq 10^{30} an.[3][4] Die Gültigkeit für sämtliche Zahlen unterhalb ist bereits mit Computerhilfe überprüft worden.[5]

Aus der starken Goldbachschen Vermutung folgt die schwache Goldbachsche Vermutung, denn jede ungerade Zahl u kann als Summe u = (u-3) + 3 geschrieben werden. Der erste Summand (u-3) kann nach der starken Goldbachschen Vermutung als Summe zweier Primzahlen (a und b) geschrieben werden, womit eine Zerlegung von u in drei Primzahlen (a, b und 3) gefunden ist.

Goldbach-Zerlegungen[Bearbeiten]

Anzahl der Möglichkeiten, die geraden Zahlen bis 200.000 als Summe zweier Primzahlen zu schreiben

Als Goldbach-Zerlegung wird die Darstellung einer geraden Zahl als Summe zweier Primzahlen bezeichnet, beispielsweise ist 3 + 5 eine Goldbach-Zerlegung der 8. Die Zerlegungen sind nicht eindeutig, wie man an 18 = 7 + 11 = 5 + 13 ersehen kann. Für größere gerade Zahlen gibt es eine tendenziell wachsende Anzahl von Goldbach-Zerlegungen („mehrfache Goldbachzahlen“). Die Anzahl der Goldbach-Zerlegungen lässt sich mit Computerunterstützung leicht berechnen, siehe Abbildung.

Um die starke Goldbachsche Vermutung zu verletzen, müsste ein Datenpunkt irgendwann auf die Nulllinie fallen.

Die Forderung an eine gerade Zahl n, dass für jede Primzahl p mit n/2 \leq p < n auch n-p eine Primzahl und somit n = p+(n-p) eine Goldbach-Zerlegung ist (die Zahl n also die maximale Anzahl an Goldbach-Zerlegungen besitzt), erfüllen genau die vier Zahlen 10, 16, 36 und 210. Auch die schwächere Forderung, dass für jede Primzahl p mit n/2 \leq p < n-1 auch n-p eine Primzahl ist, erfüllt keine Zahl n>210.[6]

Verwandte Resultate[Bearbeiten]

  • 1920 bewies Viggo Brun, dass jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen mit maximal neun Primfaktoren darstellbar ist.
  • 1937 bewies Iwan Matwejewitsch Winogradow, dass jede ungerade Zahl, die größer als eine bestimmte Konstante ist, als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden kann (Satz von Winogradow; schwache Goldbachsche Vermutung für den Fall genügend großer Zahlen).
  • 1937 bewies Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow, dass „fast alle“ geraden Zahlen als Summe zweier Primzahlen darstellbar sind, das heißt, dass die asymptotische Dichte der so darstellbaren Zahlen in den geraden Zahlen 1 ist.
  • 1947 bewies Alfréd Rényi, dass eine Konstante K derart existiert, dass jede gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl mit maximal K Primfaktoren geschrieben werden kann.
  • 1966 bewies Chen Jingrun, dass jede hinreichend große gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl geschrieben werden kann, die höchstens zwei Primfaktoren besitzt (Satz von Chen).[7]
  • 1995 bewies Olivier Ramaré, dass jede gerade Zahl als Summe von sechs oder weniger Primzahlen geschrieben werden kann.[8]
  • 2012 bewies Terence Tao, dass jede ungerade Zahl größer als 1 als Summe von fünf oder weniger Primzahlen dargestellt werden kann,[9] und verbesserte damit das Resultat von Ramaré.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. in Druckschrift in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125–129
  2. Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele, Dmitrii Zinoviev: A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the AMS 3, 1997, S. 99–104 (englisch)
  3. Harald Andrés Helfgott: Minor Arcs for Goldbach's Problem. (PDF; 715 kB) und Major Arcs for Goldbach's Problem. (Preprint auf arXiv.org; PDF; 1,1 MB)
  4. Vgl. Holger Dambeck: Schwache Goldbach-Vermutung: Lösung für legendäres Zahlenrätsel vorgelegt. Auf SPIEGEL Online Wissenschaft, 23. Mai 2013.
  5. Harald Andrés Helfgott; David J. Platt: Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875·1030. (Preprint auf arXiv.org; PDF; 104 kB).
  6. Jean-Marc Deshouillers, Andrew Granville, Władysław Narkiewicz, Carl Pomerance: An upper bound in Goldbach’s problem, Mathematics of Computation 61 Nr. 203, Juli 1993, S. 209–213 (englisch)
  7. Chen Jingrun: On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, Kexue Tongbao 17, 1966, S. 385–386 (chinesisch); Scientia Sinica 16, 1973, S. 157–176 (englisch; Zentralblatt-Rezension); Scientia Sinica 21, 1978, S. 421–430 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  8. Olivier Ramaré: On Šnirel’man’s constant. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 22, 1995, S. 645–706 (englisch)
  9. Terence Tao: Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, Mathematics of Computation (englisch; arXiv:1201.6656)