Goldenes Rechteck

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Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a und b sowie (a + b) und a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung).

Ein Goldenes Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis der beiden Seiten a und b eines Rechteck dem Goldenen Schnitt entspricht.

Dabei gilt für die Seitenverhältnisse - mit a gleich a und b gleich b -

 a : b = (a + b) : a.

Eine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist, dass wenn man einen quadratischen Abschnitt entfernt, wiederum ein goldenes Rechteck entsteht.

Konstruktionen und Eigenschaften[Bearbeiten]

Konstruktion eines goldenen Rechtecks aus einem Quadrat

Die wohl einfachste Konstruktion erhält man in dem man mit einem Quadrat beginnt und dieses zu einem goldenen Rechteck ausbaut. Hierzu wählt man zunächst ein paralleles Seitenpaar des Quadrates aus und konstruiert dessen Seitenmitten. Dann verlängert man das Seitenpaar auf einer Seite des Quadrates und zeichnet um die Seitenmitte einen Kreis der durch die der Seitenmitte gegenüberliegenden Eckpunkte des Quadrats geht. Dieser Kreis schneidet die Verlängerung der Quadratseite in Eckpunkt des goldenen Rechtecks. Den zweiten Eckpunkt erhält man, indem man eine analoge Konstruktion mit der zweiten Seitenmitte durchführt oder indem man dem ersten Eckpunkt des goldenen Rechtecks eine Senkrechte errichtet die die zweite Seitenverlängerung des Quadrates schneidet (siehe Zeichnung).

Goldenes Rechtecks im Quadrat mit Seintenlänge a

Die Seiten eines Quadrats werden so im goldenen Schnitt geteilt, dass an dem einen gegenüberliegenden Eckenpaar nur die kürzeren Seitenabschnitte anliegen und an dem anderen nur die längeren Seitenabschnitte. Die vier Teilungspunkte auf den Quadratseiten bilden nun ein goldenenes Rechteck.

In einem regulären Pentagon teilen sich die Diagonalen gegenseitig im goldenen Schnitt. Diese Eigenschaft lässt sich ebenfalls zur Konstruktion eines goldenen Rechtecks verwenden. Zunächst konstruiert man ein reguläres Pentagon mit Seitenlänge d samt seiner Diagonalen. Nun nimmt man eine der Diagonalen als die Grundseite des Rechtecks und errichtet an ihren Enden jeweils eine zu ihr senkrechte Strecke der Länge d und erhälr somit ein goldenes Rechteck.

Approximation der goldenen Spirale

Die Tatsache, dass ein goldenes Rechteck sich aus einem Quadrat und einem weiteren goldenen Rechteck zusammensetzt, kann man verwenden, um ein gegebenes goldenes Rechteck spiralförmig in eine unendliche Folge von Quadraten zur zerlegen. Zeichnet man in diese Quadrate jeweils aneinander grenzende Viertelkreise, so erhält man eine aus immer kleiner werdenden Viertelkreisen zusammengesetzte ebene Spirale. Besitzt das Ausgangsrechteck hierbei die Seitenlängen 1 und \varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} so bildet diese Spirale eine relative genaue Approximation der goldenen Spirale.

Literatur[Bearbeiten]

  • Alexey Stakhov: Golden Rectangle and Golden Brick. In: Alexey Stakhov, Alekseĭ Petrovich Stakhov, Scott Anthony Olsen: The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Word Scientific 2009, ISBN 9789812775825, S. 20-23 (Auszug (Google))
  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7, S. 47-56
  • Edward B. Burger, Michael P. Starbird: The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking. Springer 2005, ISBN 1931914419, S.232-248 (Auszug (Google))

Weblinks[Bearbeiten]