Grüblersche Gleichung

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Die Grüblerschen Gleichungen wurden 1917 und 1918 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander sowohl von Martin Fürchtegott Grübler (1851–1935) als auch von Maurice d’Ocagne aufgestellt.[1][2] Sie werden in der Technik verwendet, um die Beweglichkeit von Getrieben zu beschreiben. Dabei werden die Beweglichkeiten der die Getriebeteile verbindenden Gelenke betrachtet. Zu unterscheiden ist, ob diese Bewegungen in der Ebene (ebene Getriebe), auf einer sphärischen Fläche (sphärische Getriebe) oder beliebig im Raum (räumliche Getriebe) stattfinden.[3]

Die Gleichung[Bearbeiten]

Die allgemeine Form der Grüblerschen Gleichung lautet:

F = \ T\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i[3]

dabei steht

  • F: Freiheitsgrad
  • T: Typ des Getriebes (T=6 für räumliches, T=3 für sphärisches oder ebenes Getriebe)
  • n: Anzahl der Getriebeglieder
  • g: Anzahl der Gelenke
  • bi: Beweglichkeit eines einzelnen Gelenks i (bi = 1, 2, ...).

Räumliches Getriebe[Bearbeiten]

T = 6[3]

F = \ 6\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i

Ebenes und sphärisches Getriebe[Bearbeiten]

T = 3[3]

\begin{align}
F & = \ 3\cdot (n-1-g) + \sum_{i = 1}^g b_i\\
  & = \ 3\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d
\end{align}

Dabei steht

  • c: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 1
  • d: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 2 (z. B. Wälzen und Gleiten an den Berührungsstellen von Stirnradflanken).

Ergebnis[Bearbeiten]

Der Freiheitsgrad F des Getriebes muss ≥1 sein, damit sich das Getriebe bewegen kann:

  • bei F = 1 wird das Getriebe als zwangsläufig bezeichnet. Dies entspricht der üblichen Verwendung, bei der ein Glied bewegt (angetrieben) wird und die anderen Glieder dem zwangsläufig folgen.
  • bei F = 2 benötigt das Getriebe zwei Antriebe (je einer auf je ein Glied), um es definiert zu bewegen.

Die Zwangsläufigkeit eines Getriebes (F = 1) wird mit der sogenannten Grüblerschen Zwanglaufbedingung geprüft – einer entsprechenden Umstellung der Grüblerschen Gleichung. Für ebene Getriebe, die ausschließlich Gelenke mit bi = 1 haben (d = 0 und c = g), lautet die Bedingung:

 2 \cdot g - 3 \cdot n + 4 = 0[4]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Friedrich Schmelz, Erich Aucktor: Gelenke und Gelenkwellen: Berechnung, Gestaltung, Anwendungen, 1988, Springer-Verlag, ISBN 3540417591
  2. Martin Fürchtegott Grübler: Getriebelehre. Eine Theorie des Zwangslaufes und der ebenen Mechanismen. VDM Verlag, 2007, ISBN 3836404265
  3. a b c d Denis Jung: Formelsammlung Getriebelehre, Seite 5 (PDF; 907 KB)
  4. Siegfried Hildebrand: Feinmechanische Bauelemente, Hanser 1968, Seite 628