Graßmann-Algebra

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Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums V ist eine assoziative, schiefsymmetrisch-graduierte Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten Tensoralgebra von V und wird durch \Lambda V dargestellt. Die Multiplikation wird als äußeres Produkt, Keilprodukt, Dachprodukt oder Wedgeprodukt bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem Kreuzprodukt verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren linearen Algebra (zum Beispiel in der Theorie der Determinanten) sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von Hermann Graßmann betrachtet.

Definition[Bearbeiten]

Äußere Potenz[Bearbeiten]

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter sei

 T^k(V) = \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}

(mit den Konventionen T^0(V)=K und T^1(V)=V). Der Untervektorraum J^k(V)\subseteq T^k(V) sei erzeugt durch Elementartensoren, bei denen zwei Faktoren gleich sind:

 J^k(V) := \mathrm{span}\left\{v_1 \otimes \cdots \otimes v_k\Big|\;\exists i, j \in \{1, \dots, k\};\,i \neq j\ \colon v_i=v_j \right\}

Die äußere Potenz ist dann definiert als der Quotientenraum

\,\Lambda^k(V) = T^k(V) / J^k(V).

Äußere Algebra[Bearbeiten]

Die direkte Summe

J(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty J^k(V)

ist ein zweiseitiges, homogenes Ideal in der Tensoralgebra

T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V).

Die äußere Algebra ist die Faktoralgebra

\,\Lambda (V) := T(V) / J(V).

Als Vektorraum aufgefasst ist dies isomorph zu

\bigoplus_{k=0}^\infty \Lambda^k(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V) / J^k(V).

(Für k>\dim V ist \Lambda^k(V)=0, siehe unten.) Das Produkt in der äußeren Algebra wird traditionell als a\wedge b geschrieben.

Analog kann man die äußere Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Alternierende Tensoren[Bearbeiten]

Neben der oben angeführten Definition der äußeren Algebra gibt es noch weitere äquivalenten Möglichkeiten die äußere Algebra zu definieren. Beispielsweise kann man die Elemente der äußeren Algebra als alternierende Tensoren auffassen. Im Folgenden sei die Charakteristik des Körpers K gleich 0.

Auf den homogenen Bestandteilen T^k(V) operiert jeweils die symmetrische Gruppe S_k. Ein Tensor t\in T^k(V) heißt alternierend, wenn

\sigma(t)=\sgn(\sigma)\cdot t

für alle Permutationen \sigma\in S_k gilt (\sgn(\sigma) ist das Signum der Permutation). Der Vektorraum der alternierenden Tensoren der Stufe k sei A^k(V)\subseteq T^k(V).

Man kann jedem Tensor mit Hilfe der Antisymmetrisierungsabbildung (auch „Alternator“) \operatorname{Alt}_k \colon T^k(V) \rightarrow A^k(V) auf kanonische Weise einen alternierenden Tensor zuordnen. Sie ist definiert durch

 e_1 \otimes \ldots \otimes e_k \mapsto \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k} \sgn(\sigma)(e_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes e_{\sigma(k)}).

Mit dem Produkt

a \wedge b = \frac{(k+l)!}{k!\,l!}\operatorname{Alt}_{k+l}(a \otimes b)

für a\in A^k(V),b\in A^l(V) und bilinearer Fortsetzung entsteht insgesamt im Raum \textstyle A(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty A^k(V) der alternierenden Tensoren eine assoziative, antikommutativ-graduierte Algebra. Die kanonische Abbildung A(V)\to\Lambda(V) ist ein Algebrenisomorphismus.

Eigenschaften[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird auf die wesentlichen Eigenschaften der äußeren Algebra wie ihre Graduierung und die universelle Eigenschaft und auf ihr Produkt eingegangen. Vorausgesetzt wird dafür immer, dass V ein n-dimensionaler Vektorraum ist.

Das äußere Produkt[Bearbeiten]

Das Produkt \wedge der äußeren Algebra ist assoziativ. Außerdem ist es kommutativ-graduiert, das heißt es gilt

 a \wedge b =(-1)^{k l} b \wedge a

für a\in\Lambda^k(V) und b\in\Lambda^l(V). Insbesondere ist v\wedge v=0 für alle v\in V, aber im Allgemeinen ist a\wedge a\ne0 für a\in\Lambda^k(V) mit k gerade.

In der Terminologie der Supergeometrie verwendet man statt kommutativ-graduiert den äquivalenten Begriff superkommutativ und mit Hilfe des Superkommutators [{\cdot},{\cdot}] lässt sich die Bedingung der Superkommutativität ausdrücken als

 [a,b]=0

für a\in\Lambda^k(V) und b\in\Lambda^l(V).

Ist f eine p-Form und g eine q-Form, so lautet die explizite Formel für das äußere Produkt von f und g für beliebige endlichdimensionale Vektorräume (und für unendlichdimensionale Banachräume):

(f \wedge g)(v_1, \ldots, v_p, v_{p+1}, \ldots, v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!} \sum_{\sigma \in Sym_{p+q}} \epsilon(\sigma) f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(p)}) g(v_{\sigma(p+1)}, \ldots, v_{\sigma(p+q)}),

wobei Sym_{p+q} die symmetrische Gruppe der Ordnung p+q und \epsilon(\sigma) das Vorzeichen der Permutation \sigma darstellen sollen.

Graduierung, Basis und Dimension[Bearbeiten]

Die äußere Algebra

\Lambda (V)=\bigoplus_{m=0}^n \Lambda^m (V)

ist eine graduierte Algebra. Das heißt, sie kann als direkte Summe von Unteralgebren dargestellt werden. Für die äußere Algebra folgt dies direkt aus der Definition. Die äußeren Potenzen sind die entsprechenden Unteralgebren.

Sei nun e_1, \ldots , e_n eine Basis des Vektorraums V. Dann ist


\{\,e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} \,|\, i_1 < \ldots < i_k\,\}

eine Basis von \Lambda^k(V). Die Dimension ist \dim(\Lambda^k(V)) = \tbinom{n}{k}. Insbesondere ist \Lambda^k(V)=0, falls k>n.

Die Basis der äußeren Algebra erhält man dann durch Vereinigung der Basen aller Grade. Für die Dimension gilt dann


\dim(\Lambda(V)) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n,

wobei \binom{n}{i} den Binomialkoeffizienten bezeichnet. Es folgt, dass sich jedes Element der Graßmann-Algebra darstellen lässt als


\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\}} f_I\,e_I,

wobei die 2^n Koeffizienten f_I das Element bezüglich einer Basis e_1,\dots,e_n charakterisieren und e_I:=e_{m_1}\wedge\cdots\wedge e_{m_k} mit I=\{m_1,\dots,m_k\};\,i<j\,\Rightarrow\,m_i<m_j ist.

Als Beispiel kann man den Vektorraum \mathbb{R}^4 mit der kanonische Basis wählen. Der 3. Grad der äußeren Algebra \Lambda(\mathbb{R}^4) wird aufgespannt durch:

\Lambda^3(\R^4) = \mathrm{span}(\{ (e_1 \wedge e_2 \wedge e_3), (e_1 \wedge e_2 \wedge e_4), (e_1 \wedge e_3 \wedge e_4), (e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)\})

Durch Abzählen sieht man, dass \dim(\Lambda^3(\mathbb{R}^4)) = 4 ist.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Ist V ein Vektorraum (bzw. Modul) und A eine assoziative Algebra, so gibt es eine Bijektion zwischen

  • den Homomorphismen von Vektorräumen (bzw. Moduln) f\colon V\to A, so dass f(v)^2=0 für alle v\in V gilt

und

  • den Algebrenhomomorphismen \bigwedge V\to A.

Skalarprodukt[Bearbeiten]

Hat der Vektorraum V ein Skalarprodukt, so kann auch die äußere Algebra mit einem solchen ausgestattet werden. Dabei werden Unterräume verschiedenen Grades als orthogonal definiert. Innerhalb eines Unterraums genügt es, das Skalarprodukt auf reinen Produkten zu definieren. Seien a_1\wedge\dots\wedge a_m und b_1\wedge\dots\wedge b_m reine Produkte in \Lambda^m V. Ihnen kann die Gramsche Matrix der Skalarprodukte zugeordnet werden. Dann kann das Skalarprodukt als Determinante der Gramschen Matrix definiert werden:

\langle  a_1\wedge\dots\wedge a_m,\,b_1\wedge\dots\wedge b_m\rangle :=\det\begin{pmatrix}\langle a_1,b_1\rangle&\dots&\langle a_1,b_m\rangle\\ \vdots&&\vdots\\ \langle a_m,b_1\rangle&\dots&\langle a_m,b_m\rangle\end{pmatrix}

Ist V der n-dimensionale Spaltenvektorraum, so kann zu a_1\wedge\dots\wedge a_m die Matrix A=(a_1,\dots,a_m) definiert werden. Von dieser kann man die maximalen quadratischen Untermatrizen A_\alpha betrachten. Dabei ist \alpha ein Multiindex aus

I_m:=\{\alpha\in\mathbb N^m:\;1\le\alpha(1)<\dots<\alpha(m)\le n\}

und A_\alpha besteht aus genau diesen Zeilen von A.

Es gilt folgende Identität nach dem Satz von Binet-Cauchy, im Falle m=2 und A=B auch „Flächenpythagoras“ genannt:

\det(\;(\langle a_i,b_k\rangle)\;)=\det(A^tB)=\sum_{\alpha\in I_m} \det A_\alpha\cdot\det B_\alpha

Differentialformen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Differentialform

Das Hauptanwendungsgebiet der äußeren Algebra liegt in der Differentialgeometrie. Sei M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. So wählt man den Kotangentialraum dieser Mannigfaltigkeit als zugrundeliegenden Vektorraum und bildet die äußere Algebra. Eine Differentialform ist ein Schnitt im Bündel dieser Vektorräume, also eine Abbildung, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Element der äußeren Algebra über dem Kotangentialraum an diesem Punkt zuordnet. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe kartenunabhängig auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.

Hodge-Operator[Bearbeiten]

Hauptartikel: Hodge-Stern-Operator

Sei V (wie oben) ein Vektorraum und \Lambda^n V die äußere Algebra von V. Sei (e_1,\dots,e_n) eine orientierte Basis von V. Der Hodge-Operator oder Hodge-Stern-Operator ist ein natürlicher Isomorphismus *:\Lambda^k V \rightarrow \Lambda^{n-k} V mit  \omega \mapsto *\omega . Der Hodge-Operator ordnet also jedem \omega\in\Lambda^k V auf eindeutige Weise ein *\omega\in\Lambda^{n-k} V zu, das sog. „duale Element“ zu ω. Für dieses gilt

\forall\eta\in\Lambda^k V:\;\eta\wedge *\omega=\langle\eta,\omega\rangle\cdot \mathbf e_1\wedge\dots\wedge \mathbf e_n,

da Skalare dual zu dem angegebenen n-Einheitsvektor sind.

Beziehung zum Kreuzprodukt und Spatprodukt (Hodge-Dualität von Vektoren) und Begriffen der Physik[Bearbeiten]

Sei \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 die kanonische Basis des \mathbb{R}^3 und \alpha = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + a_3 \mathbf e_3, \beta= b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + b_3 \mathbf e_3 \in \Lambda^1(\mathbb{R}^3) seien zwei Elemente aus der äußeren Algebra (bzw. äußeren Potenz) des reellen Vektorraumes. Mit * wird der Hodge-Operator bezeichnet. Für das äußere Produkt von \alpha und \beta gilt mithilfe des Distributivgesetzes

\begin{array}{rl} 
  *(\alpha \wedge \beta) 
    =& *((a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + b_3 \mathbf e_3))\\[0.5em]
    =& *((a_2\mathbf e_2\wedge b_1\mathbf e_1) + (a_3\mathbf e_3 \wedge b_1\mathbf e_1) + (a_1\mathbf e_1 \wedge b_2\mathbf e_2) \\
     &+ (a_3\mathbf e_3 \wedge b_2 \mathbf e_2) + (a_1\mathbf e_1 \wedge b_3\mathbf e_3) + (a_2\mathbf e_2 \wedge b_3\mathbf e_3))\\[0.5em]
    =& *((a_1b_2-a_2b_1)(\mathbf e_1\wedge \mathbf e_2) + (a_2b_3-a_3b_2) (\mathbf e_2\wedge \mathbf e_3) + (a_3b_1-a_1b_3) (\mathbf e_3\wedge \mathbf e_1))\,.
\end{array}

Der Hodge-Operator ordnet im dreidimensionalen Raum dem Produkt der Basisvektoren \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 den Vektor \mathbf e_3 zu. Durch zyklisches Vertauschen der Indizes ergeben sich die Zuordnungen der anderen Basisvektoren. Damit ergibt sich das Kreuzprodukt im dreidimensionalen reellen Raum. Also kann man *(\alpha \wedge \beta) auf der äußeren Algebra als Verallgemeinerung des Kreuzproduktes verstehen. Mit Hilfe dieser Verallgemeinerung lässt sich ebenfalls der aus der Vektoranalysis bekannte Differentialoperator Rotation \operatorname{rot} auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinern.

Das Spatprodukt dreier a,b,c Vektoren im \R^3 lässt sich entsprechend als Element a\wedge b\wedge c der dritten äußeren Potenz auffassen. Man beachte, dass der Hodge-Stern-Operator nur bezüglich einer Basis (oder alternativ bzgl. eines Skalarprodukts, welches die Existenz einer Orthonormalbasis sichert) definiert ist. Das äußere Produkt dagegen lässt sich unabhängig von einer solchen Wahl definieren.

Der klassischen Physik entstammende Größen, die in der Physik Pseudovektoren genannt werden, wie zum Beispiel eine magnetische Feldstärke oder ein Drehimpuls, lassen sich als Elemente von \Lambda^2(\R^3) auffassen. Mit einem Pseudoskalar ist in vielen Fällen eine Größe gemeint, die sich als Element von \Lambda^3(\R^3) verstehen lässt.

Beziehung zur Determinanten-Theorie; Ausdehnungsmaß von m-Vektoren[Bearbeiten]

Noch einfacher ist der mit dem Hodge-Operator einhergehende Begriff der Dualität bei Skalaren: Diese sind dual zur Determinante einer n\times n-Matrix. [1] Im Einzelnen:

Es sollen die gleichen Voraussetzungen wie im vorigen Abschnitt gelten; nur sei jetzt m \ge 3 zugelassen, und es sei n\ge m\,. Wenn nunmehr, für 1\le i_\nu \le n\,, ein m-Bein der Form \textstyle \gamma :=\sum_{\,i_1 < i_2 < \ldots <i_m}\,(a^{(1)}_{i_1} a^{(2)}_{i_2} \ldots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}\,\mathbf e_{i1}\wedge\mathbf e_{i_2}\wedge \ldots\wedge\mathbf e_{i_m} gegeben ist (also eine Summe von \textstyle \binom{n}{m} elementaren m-Beinen[2]), dann ergibt wie oben das antisymmetrisierte [3] Produkt  (a^{(1)}_{i_1}a^{(2)}_{i_2}\ldots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}, bis auf ein alternierendes Vorzeichen, das von der jeweiligen Orientierung abhängt („Rechtshändigkeit“ versus „Linkshändigkeit“), das Hyperflächenmaß des m-Beins dual zur jeweiligen „Basisrichtung“, also dessen m-dimensionales „Volumen“ im \mathbb R^n bzw. \mathbb C^n\,. Zugleich stellt dieser Ausdruck eine Unterdeterminante einer Matrix mit m Spalten und n Zeilen dar. Man erhält so auf elementare Weise, nämlich wegen der Multilinearität und Multi-Assoziativität des angegebenen Ausdrucks, die bekannten Determinanten-Entwicklungsätze. Insbesondere ist das so erzeugte Volumenmaß (=Grundflächenmaß mal Höhe) des jeweiligen Parallel-Epipeds invariant gegen Verschiebungen parallel zur Grundfläche [4], weil Determinanten von linear abhängigen Vektoren verschwinden. [5]

Beziehung zur Clifford-Algebra[Bearbeiten]

Sei q \colon V\times V\to K eine symmetrische Bilinearform auf V.

Nun sei die zweistellige, bilineare Verknüpfung

\circ:\Lambda(V)\times\Lambda(V)\to\Lambda(V)

definiert durch

 \begin{align}
&(v_1\wedge\cdots\wedge v_i)\circ(w_1\wedge\cdots\wedge w_j)\\
=&v_1\wedge\cdots\wedge v_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge w_j\\
+ &\sum_{k=1}^{\min\{i,j\}}\sum_{\overset{1\leq m_1<\cdots<m_k\leq i}{1\leq n_1<\cdots<n_k\leq j}}\;\sum_{\sigma\in P_k}(-1)^{ik+\sum_{\nu=1}^k(m_{\nu}+n_{\nu})}\;\mathrm{sign}\,\sigma\left(\prod_{\nu=1}^kq(v_{m_{\sigma(\nu)}},w_{n_{\nu}})\right)\\
\cdot &v_1\wedge\cdots\wedge \hat v_{m_1}\wedge\cdots\wedge \hat v_{m_2}\wedge\cdots\wedge v_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge \hat w_{n_1}\wedge\cdots\wedge w_j
\end{align}

für  v_m,w_n\in V. Die Hüte über den Faktoren bedeuten hier deren Auslassung im Produkt. Durch Einführen dieser neuen Verknüpfung als Multiplikation erhält man die Clifford-Algebra \mathrm{Cl}(V,q). Insbesondere erhält man mit der Nullbilinearform wieder die Graßmann-Algebra: \mathrm{Cl}(V,0)=\Lambda(V), da der Zusatzterm in der obigen Gleichung wegfällt und somit \circ=\wedge gilt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten]

  1. In der Physik wird in diesem Zusammenhang von pseudoskalaren Größen gesprochen.
  2. p=m und p=n-m ergeben also duale p-Beine.
  3. In der Antisymmetrisierung der angegebenen Produkte liegt keine Beschränkung der Allgemeinheit, weil Zusatzterme sich automatisch zu Null aufsummieren würden.
  4. Das sind sog. „Scherungen“, z. B. Transformationen a_n\to a_n +\lambda a_i\,, mit i\le (n-1)\,.
  5. Präzise gilt für das Ausdehnungsmaß des m-Beins \gamma :  V(\gamma )=\sqrt{\sum_{i_1 < \ldots < i_m} |(a^{(1)}_{i_1}\dots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}|^2}. Das ist erneut ein „verallgemeinerter Satz von Pythagoras.“

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]