Graßmann-Mannigfaltigkeit

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Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.

Definition[Bearbeiten]

Sei V ein Vektorraum über einem Körper \mathbb K. Dann bezeichnet

Gr(r,V)

die Menge der r-dimensionalen Untervektorräume von V. Falls V n-dimensional ist, bezeichnet man Gr(r,V) auch mit

Gr(r,n).

Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen Gruppe[Bearbeiten]

Im Fall \mathbb K=\R wirkt die orthogonale Gruppe

O(n)

auf Gr(r,n) durch

(A,W)\rightarrow A(W).

Die Wirkung ist transitiv, die Stabilisatoren sind konjugiert zu

O(r)\times O(n-r).

Man erhält also eine Bijektion zwischen Gr(r,n) und dem homogenen Raum

O(n)/O(r)\times O(n-r)=GL(n,\R)/GL(r,\R)\times GL(n-r,\R).

Im Fall \mathbb K=\C wirkt die unitäre Gruppe U(n) transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit

U(n)/U(r)\times U(n-r)=GL(n,\C)/GL(r,\C)\times GL(n-r,\C).

Analog erhält man für beliebige Körper \mathbb K eine Bijektion zwischen Gr(r,n) und

GL(n,\mathbb K)/GL(r,\mathbb K)\times GL(n-r,\mathbb K).

Topologie[Bearbeiten]

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der r-dimensionalen Unterräume im \R^n) bezeichnet man Gr(r,n) mit der durch die Identifikation mit

O(n)/O(r)\times O(n-r)

gegebenen Topologie.

Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit Gr(r,n) bezeichnet man entsprechend

U(n)/U(r)\times U(n-r).

Die kanonische Inklusion \mathbb K^n\subset \mathbb K^{n+1} induziert eine Inklusion Gr(r,n)\subset Gr(r,n+1). Man definiert

Gr(r,\infty):=\lim_nGr(r,n)

als projektiven Limes der Gr(r,n) mit der Limes-Topologie.

Algebraische Varietät[Bearbeiten]

Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

Tautologisches Bündel[Bearbeiten]

Sei \mathbb K^\infty:=\lim_n\mathbb K^n der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere

\gamma^r:=\left\{(W,x)\in Gr(r,\infty)\times \mathbb K^\infty: x\in W\right\}\subset Gr(r,\infty)\times \mathbb K^\infty.

Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbündel

\gamma^r\rightarrow Gr(r,\infty),

welches als tautologisches oder universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

Klassifizierende Abbildung[Bearbeiten]

Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel E\rightarrow B gibt es eine stetige Abbildung

f \colon B\rightarrow Gr(r,\infty),

so dass E das Pullback des tautologischen Bündels \gamma^r unter f ist.

Im Fall des Tangentialbündels TM einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass M eine Untermannigfaltigkeit eines \mathbb R^m ist. Die Tangentialebene T_xM in einem Punkt x\in M ist dann von der Form

T_xM=x+W_x

für einen Untervektorraum W_x\subset \mathbb R^m. Die Zuordnung

x\rightarrow W_x

definiert eine stetige Abbildung

f \colon M\rightarrow Gr(r,m)\subset Gr(r,\infty)

und man kann zeigen, dass

f^*\gamma^r=TM

ist.

Klassifizierender Raum für Prinzipalbündel[Bearbeiten]

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit Gr(r,\infty) ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen O(r). Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe GL(r), denn weil die Inklusion O(r)\rightarrow GL(r) eine Homotopieäquivalenz ist, läßt sich jedes GL(r)-Bündel auf die Strukturgruppe O(r) reduzieren. Es gilt also:

Gr(r,\infty)\simeq BGL(r,\mathbb K)\simeq BO(r,\mathbb K).

Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit V(r,\infty) nach G(r,\infty), welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle O(r)-Bündel. (Das tautologische Bündel \gamma^r ergibt sich aus dem universellen O(r)-Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von O(r) auf dem Vektorraum \mathbb R^r.)

Der Kolimes der Folge von Inklusionen

Gr(1,2)\subset Gr(2,4)\subset \ldots \subset Gr(n,2n) \subset\ldots

wird als BGL(\mathbb K) oder BO(\mathbb K) bezeichnet. Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen

BO:=BO(\R), BU:=BO(\C).

Mittels Bott-Periodizität kann man die Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen.

Schubert-Kalkül[Bearbeiten]

Das Cup-Produkt im Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeiten kann mittels Schubert-Kalkül bestimmt werden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]