Gravitationsfeld

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Dieser Artikel behandelt das Gravitationspotential der klassischen Mechanik mit dazugehörigem Feld. Für die Energie einer Masse in diesem siehe Potentielle Energie und für die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie siehe Einsteinsche Feldgleichungen.

In der klassischen Mechanik gibt das Gravitationsfeld für jeden Ort den durch Gravitation verursachten Teil der Fallbeschleunigung g an. Dieses Kraftfeld wird durch die Massen und Positionen der verursachenden Körper bestimmt und mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnet. Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraftfeld, sondern als Krümmung der Raumzeit.

In der physikalischen Literatur findet sich gelegentlich synonym die Bezeichnung Schwerefeld.[1] Insbesondere in der Geodäsie ist das Schwerefeld jedoch die Summe von Gravitationsfeld und Zentrifugalbeschleunigung, siehe Schwerefeld.

Potential und Feld[Bearbeiten]

Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.
Hauptartikel: Potential und Feld

Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt Gravitationspotential. Sein Wert \Phi(\vec r) am Ort \vec r lässt sich bei bekannter Massendichte \rho(\vec r) durch Lösen der Poisson-Gleichung bestimmen

\Delta \Phi(\vec r) = 4 \pi G \rho(\vec r),

wobei G die Gravitationskonstante ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse M beispielsweise

\Phi(r)=-\frac{GM}{r}(+\Phi_\infin).

Hierbei ist \Phi_\infin das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt. (Für eine ausführliche Herleitung siehe Potential (Physik)).

Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers m, so erhält man seine potentielle Energie

V(\vec r)=m \, \Phi(\vec r).

Das Gravitationsfeld \vec{g} lässt sich als Gradientenfeld des Gravitationspotentials \Phi schreiben:

\vec{g}(\vec{r}) = - \nabla \Phi(\vec{r})

Die vom Feld erzeugte Kraft \vec{F}_\mathrm{G} auf einen Körper der Masse m ist dann

\vec{F}_\mathrm{G}(\vec{r}) = m \, g(\vec r) .

Feldstärke[Bearbeiten]

Hauptartikel: Feldstärke

Der Betrag des Gravitationsfeldes heißt Gravitationsfeldstärke oder Gravitationsbeschleunigung g = |\vec{g}|. Das Besondere dabei ist, dass die Beschleunigung unabhängig von der Probemasse (der Masse eines Körpers im Feld) ist. Wirken keine weiteren Kräfte, so ist \vec{g} die exakte Beschleunigung einer Probemasse im Feld.

Eine Punktmasse M verursacht wie gesagt das Potential

\Phi(\vec r) =  - \frac{G M}{r}

und daher das dazugehörige radialsymmetrische Feld mit der Feldstärke

\vec g(\vec r) = - \frac{G M}{r^2} \hat{e}_r

In Abständen, die um Größenordnungen größer als die Ausdehnung der Masse sind, kann jede Masse annähernd als punktförmig betrachtet werden. Befindet sich eine Probemasse m in diesem Gravitationsfeld, so ergibt sich direkt das Newtonsche Gravitationsgesetz, das der Betrag der wirkenden anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten, die sich im Abstand r befinden, ist:

F_\mathrm{G} = mg = m \frac{G M}{r^2}

Da jede beliebig ausgedehnte Masse in (annähernd) punktförmige Teilmassen zerlegt werden kann, lässt sich jedes Gravitationsfeld auch als Summe über viele Punktmassen darstellen:

\vec{g}(\vec{r}) = -G \sum_{i} {m_i} \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}

wobei \vec{r}_i die Orte der Punktmassen m_i sind.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Torsten Fließbach: Mechanik. 5. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1683-4.