Gravitationsfeld

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Dieser Artikel behandelt das Gravitationspotential der klassischen Mechanik mit dazugehörigem Feld. Für die Energie einer Masse in diesem siehe Potentielle Energie und für die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie siehe Einsteinsche Feldgleichungen.

Das Gravitationsfeld ist in der Physik ein Kraftfeld, das durch die Existenz von Massen hervorgerufen wird und sich durch eine anziehende Kraft auf andere Massen äußert. Es ist in der klassischen Mechanik somit die Ursache der Gravitation. In der physikalischen Literatur findet sich gelegentlich die Bezeichnung Schwerefeld synonym für das Gravitationsfeld,[1][2] im strengeren Sinne, insbesondere in der Geodäsie aber auch der Astronomie, ist dies jedoch ein aus Gravitationsfeld und Zentrifugalkraft zusammengesetztes Feld zur Beschreibung der effektiven Beschleunigung auf rotierenden Himmelskörpern, wie z. B. der Erde und wird daher separat im Artikel Schwerefeld behandelt.

Potential und Feld[Bearbeiten]

Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.
Hauptartikel: Potential und Feld
Gravitationspotential (rote Kurve) und -beschleunigung (blau) gegen den Abstand vom Erdmittelpunkt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential üblicherweise im Unendlichen auf null gesetzt.

Das zum Gravitationsfeld gehörende Potential heißt Gravitationspotential. Sein Wert \Phi(\vec r) am Ort \vec r lässt sich bei bekannter Massendichte \rho(\vec r) durch Lösen der Poisson-Gleichung bestimmen

\Delta \Phi(\vec r) = 4 \pi G \rho(\vec r),

wobei G die Gravitationskonstante ist. So beträgt das Potential um einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse M beispielsweise

\Phi(r)=-\frac{GM}{r}(+\Phi_\infin).

Hierbei ist \Phi_\infin das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise willkürlich auf Null gesetzt. (Für eine ausführliche Herleitung siehe Potential (Physik)).

Multipliziert man das Potential mit der Masse eines Körpers m, so erhält man seine potentielle Energie

V(\vec r)=m \, \Phi(\vec r).

Das Gravitationsfeld \vec{g} lässt sich als Gradientenfeld des Gravitationspotentials \Phi schreiben:

\vec{g}(\vec{r}) = - \nabla \Phi(\vec{r})

Die vom Feld erzeugte Kraft \vec{F}_\mathrm{G} auf einen Körper der Masse m ist dann

\vec{F}_\mathrm{G}(\vec{r}) = m \, g(\vec r) .

Feldstärke[Bearbeiten]

Hauptartikel: Feldstärke

Der Betrag des Gravitationsfeldes heißt Gravitationsfeldstärke oder Gravitationsbeschleunigung g = |\vec{g}|. Das Besondere dabei ist, dass die Beschleunigung unabhängig von der Probemasse (der Masse eines Körpers im Feld) ist. Wirken keine weiteren Kräfte, so ist \vec{g} die exakte Beschleunigung einer Probemasse im Feld.

Eine Punktmasse M verursacht wie gesagt das Potential

\Phi(\vec r) =  - \frac{G M}{r}

und daher das dazugehörige radialsymmetrische Feld mit der Feldstärke

\vec g(\vec r) = - \frac{G M}{r^2} \hat{e}_r

In Abständen, die um Größenordnungen größer als die Ausdehnung der Masse sind, kann jede Masse annähernd als punktförmig betrachtet werden. Befindet sich eine Probemasse m in diesem Gravitationsfeld, so ergibt sich direkt das Newtonsche Gravitationsgesetz, das der Betrag der wirkenden anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten, die sich im Abstand r befinden, ist:

F_\mathrm{G} = mg = m \frac{G M}{r^2}

Da jede beliebig ausgedehnte Masse in (annähernd) punktförmige Teilmassen zerlegt werden kann, lässt sich jedes Gravitationsfeld auch als Summe über viele Punktmassen darstellen:

\vec{g}(\vec{r}) = -G \sum_{i} {m_i} \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3}

wobei \vec{r}_i die Orte der Punktmassen m_i sind.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. Springer, 2006, ISBN 9783540260349.
  2.  Torsten Fließbach: Mechanik. 5. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1683-4.