Gravitationskonstante

Physikalische Konstante
Name	Gravitationskonstante
Formelzeichen	$G$
Wert
SI	$6{,}673\;84\; \cdot 10^{-11} \mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}$
Unsicherheit (rel.)	$1{,}2 \cdot 10^{-4}$
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010, Direktlink: physics.nist.gov

Die Gravitationskonstante ist jene Naturkonstante, die die Masse mit der Gravitation verknüpft. Sie wurde von Isaac Newton im Rahmen seiner Gravitationstheorie eingeführt und findet heute auch in der allgemeinen Relativitätstheorie uneingeschränkt Anwendung. Für die Beschreibung astronomischer Größen und Vorgänge besitzt sie ebenso fundamentale Bedeutung wie für die Geowissenschaften. Als Formelzeichen sind $G$ oder $\gamma$ üblich. Der Wert der Gravitationskonstante beträgt:

$G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}$

Definition

Nach dem newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei kugelsymmetrische Körper mit den Massen $m_1$ und $m_2$, deren Mittelpunkte einen Abstand $r$ haben, gegenseitig mit der Kraft

$F = G \, \frac{m_1 \, m_2}{r^2} \$

an. Die in der Gleichung auftretende Proportionalitätskonstante $G$ ist die Gravitationskonstante.

Obiger Zusammenhang gilt genau genommen nur für theoretische punktförmige Massen, bei denen die gesamte Masse im Mittelpunkt konzentriert ist. Das äußere Gravitationsfeld von Körpern mit einer kugelsymmetrischen Massenverteilung ist jedoch identisch mit dem einer Punktmasse.

Wert und Einheiten

Im Internationalen Einheitensystem (SI) beträgt der Wert nach der aktuellen Empfehlung CODATA 2010:

$G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}} = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N \cdot m^2}{kg^2}}$

(also mit einer geschätzten Standardabweichung von 0,000 80 · 10⁻¹¹)

Im CGS-Einheitensystem hat $G$ den Wert:

$G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-8}\,\mathrm{\frac{cm^3}{g \cdot s^2}}$

Die Gravitationskonstante kann auch mit anderen Naturkonstanten ausgedrückt werden, zum Beispiel mit Hilfe des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums $\hbar$ und der Lichtgeschwindigkeit $c$ („natürliche Einheiten“). Nach CODATA 2010 ergibt sich als Wert:

$G = 6{,}708\;37\;(80) \cdot 10^{-39}\,\frac{\hbar c}{(\mathrm{GeV}/c^2)^2}$

Verglichen mit anderen Grundkräften der Physik ist die Gravitation eine sehr schwache Wechselwirkung, was sich in dem kleinen Wert der Gravitationskonstanten ausdrückt. Berechnet man beispielsweise das Verhältnis zwischen der Gravitationskraft und der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Protonen, so erhält man:

$\frac{F_\text{Gravitation}}{F_\text{elektrisch}} = \frac{G m_\text{Proton}^2}{e^2 / (4 \pi \varepsilon_0)} \approx 10^{-36}$

Genauigkeit

Unter allen Naturkonstanten ist $G$ zurzeit diejenige mit der größten relativen Messungenauigkeit. Der Grund dafür liegt in der Schwierigkeit, die sehr geringe Gravitationskraft zwischen zwei Massen im Laborversuch mit hoher Genauigkeit zu messen. Auch mit aufwändig konstruierten und gegen Störeinflüsse abgeschirmten Messgeräten konnte bisher nur eine verhältnismäßig geringe Messgenauigkeit von 1,0 · 10 ⁻⁴ erreicht werden. Zum Vergleich: Das plancksche Wirkungsquantum ist mit einer relativen Ungenauigkeit von nur 1,7 · 10 ⁻⁷ bekannt.

Für Himmelskörper mit Begleitern, deren Bahn gemessen werden kann, ist der sogenannte Gravitationsparameter $\mu = GM$ wesentlich genauer zu bestimmen (bis zu 10-stellig, siehe WGS 84) als die Masse $M$ des Himmelskörpers geschätzt werden könnte (aus dem Durchmesser und dem Dichteverlauf). Für vergleichsweise kleine Begleiter, z.B. künstliche Satelliten, gilt bis auf Bahnstörungen durch dritte Körper die Gleichung $\mu = r^3 \omega^2$, vergleiche Keplersche Gesetze.

Gravitationswaage

→ Hauptartikel: Gravitationswaage

Im Jahr 1798 hat Henry Cavendish in einem Laborexperiment mit einer Gravitationswaage die zwischen bekannten Massen wirkende Kraft gemessen. Die Messanordnung bestand aus zwei großen Kugeln mit zusammen $M_c$ = 316 kg und zwei an einem Torsionsdraht drehbar aufgehängten Kugeln mit zusammen $m$ = 1,46 kg. Es wurde die Kraft $F_c$ ermittelt, die bei einem Abstand $r_m$ erforderlich ist, damit die Gravitationskraft der Kugeln sie nicht weiter aufeinander zubewegen konnte. Die dazu nötige Torsionssteifigkeit des Drahtes bestimmte er aus der Periodendauer der Torsionsschwingung. Zusätzlich bestimmte er das Gewicht seiner Testmasse $m$, also die Gravitationskraft $F_E$, mit der die Testmasse von der Erdmasse $M_E$ angezogen wird.

Anschließend setzte er entsprechend dem Newtonschen Gravitationsgesetz die Werte seiner Messung ins Verhältnis zu den entsprechenden Werten $M_E$ und $r_E$ der Erde:

$\frac {F_c \, r_m^2} {m \, M_c} = \frac {F_E \, r_E^2} {m \, M_E} = \mathrm{const.} = G$

Diese Beziehung nutzte Henry Cavendish, um die Dichte der Erde zu bestimmen. Aus seiner Versuchsbeschreibung ist nicht ersichtlich, ob er auch den Wert der Gravitationskonstanten $G$ bestimmt hat. Aus seinen Messwerten lässt sich jedoch ein Wert für die Konstante errechnen:

$G_\mathrm{Cavendish} = 6{,}754 \cdot 10^{-11}~\mathrm{{m^3}{kg^{-1}\,s^{-2}}}$.

Erst nachdem der Wert der Gravitationskonstanten bekannt war, konnten auch die Massen weiterer Himmelskörper bestimmt werden.

Siehe auch

• Gaußsche Gravitationskonstante
• Erdbeschleunigung

Literatur

• Venzo de Sabbata: The gravitational constant - generalized gravitational theories and experiments. Kluwer Academic, Dordrecht 2004, ISBN 1-4020-1955-6
• Achim Schumacher: Systematische Untersuchungen zur Messung der Newtonschen Gravitationskonstanten mit einem Pendelresonator. August 1999, abgerufen am 18. November 2009 (pdf, Dissertation (Universität Wuppertal), 3,89MB). 

Weblinks

 Wiktionary: Gravitationskonstante – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST