Großes Dodekaeder

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Großes Dodekaeder

Das (auch, v. a. österr.: der) Große Dodekaeder ist ein reguläres Polyeder und gehört zu den Keplerschen Sternkörpern; es wird von 60 gleichschenkligen Dreiecken[1] begrenzt.

Entstehung[Bearbeiten]

Grundkörper ist das Ikosaeder.[2] Das Große Dodekaeder ist das Ergebnis von zwölf sich gegenseitig schneidenden regelmäßigen Fünfecken, die im Ikosaeder zu finden sind (s. Schnittflächen eines Ikosaeders); dieser Sternkörper ist quasi ein reduziertes, „ausgekratztes“ Ikosaeder, wobei die 20 Ausschnitte die Form dreieckiger Pyramiden haben.

Formeln[Bearbeiten]

Tetraeder GD.png
Größen im ausgeschnittenen Tetraeder
Größen eines Großen Dodekaeders mit Kantenlänge a[2]
Volumen V = \frac{5}{4} a^3 \left(\sqrt{5} - 1 \right)
Oberflächeninhalt O = 15a^2 \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}
Umkugelradius R = \frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}
Pyramidenhöhe k = \frac{a}{6} \sqrt{3} \left(3 - \sqrt{5} \right)
Gratlänge s = \frac{a}{2} \left(\sqrt{5} - 1 \right)
Flächenwinkel (außen)
 ≈ 116° 33' 54"
 \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{5} \sqrt{5}
Flächenwinkel (innen)
 ≈ 63° 26' 6"
 \cos \, \alpha_2 = \frac{1}{5} \sqrt{5}

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Seiten des Dreiecks seien mit a (Seite des Ikosaeders) und s (Schenkel) bezeichnet.
  2. a b Die Kantenlänge des umbeschriebenen Ikosaeders sei mit a bezeichnet.

Weblinks[Bearbeiten]