Großes Ikosaeder

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Großes Ikosaeder

Das Große Ikosaeder ist ein reguläres Polyeder und gehört zu den Keplerschen Sternkörpern; es wird von 60 gleichschenkligen Dreiecken[1] und 120 unregelmäßigen Dreiecken begrenzt.

Entstehung[Bearbeiten]

Grundkörper ist der Dodekaederstern.[2] Das Große Ikosaeder ist das Ergebnis von 20 sich gegenseitig schneidenden gleichseitigen Dreiecken, die im Dodekaederstern zu finden sind; die Dreiecke schneiden sich unter einem Winkel von ≈ 70,5° (bzw. ≈ 109,5° supplementär). Jeweils zwei Dreiecke stoßen an einer ihrer Kanten zusammen und bilden hier einen „Rippenwinkel“ von ≈ 41,8°. Dieser Sternkörper ist quasi ein reduzierter, „ausgeschabter“ Dodekaederstern, wobei die 60 Ausschnitte die Form von irregulären Tetraedern[3] haben.

Formeln[Bearbeiten]

Pyramide GI.png
Größen im ausgeschnittenen Tetraeder
Größen eines Großes Ikosaeders mit Kantenlänge a[2]
Volumen V = \frac{a^3}{4} \left(25 + 9 \sqrt{5} \right)
Oberflächeninhalt O = 3a^2 \sqrt{3} \left(5 + 4\sqrt{5} \right)
Umkugelradius R = \frac{a}{4} \sqrt{50 + 22\sqrt{5}}
Pyramidenhöhe k = \frac{a}{10} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}
1. Gratlänge s = \frac{a}{2} \left(1 + \sqrt{5} \right)
2. Gratlänge t = \frac{a}{10} \sqrt{2} \left(5 + 3\sqrt{5} \right)
3. Gratlänge u = \frac{a}{5} \sqrt{10}
1. Flächenwinkel
 ≈ 109° 28' 16"
 \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{3}
2. Flächenwinkel
 ≈ 70° 31' 44"
 \cos \, \alpha_2 = \frac{1}{3}
3. Flächenwinkel
 ≈ 41° 48' 37" (‚Rippe‘)
 \cos \, \alpha_3 = \frac{1}{3} \sqrt{5}

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Seiten des Dreiecks seien mit a (Grundseite) und u (Schenkel) bezeichnet.
  2. a b Die Kantenlänge des einbeschriebenen Dodekaeders sei mit a bezeichnet.
  3. Die Gratlängen des Tetraeders seien mit t (lange Seite) und u (kurze Seite) bezeichnet.

Weblinks[Bearbeiten]