Gromov-Hausdorff-Metrik

In der Mathematik bezeichnet die Gromov-Hausdorff-Metrik, benannt nach den Mathematikern Michail Leonidowitsch Gromow und Felix Hausdorff, eine Metrik auf der Menge der Isometrieklassen von kompakten metrischen Räumen.

Anschaulich ist der Gromov-Hausdorff-Abstand umso geringer, je besser sich die gegebenen Räume miteinander in Deckung bringen lassen.

Definition

Der Gromov-Hausdorff-Abstand ist der kleinstmögliche Hausdorff-Abstand, den die gegebenen Räume bei einer Einbettung in einen metrischen Raum haben können. Seien also $X, Y$ kompakte metrische Räume. Dann ist der Gromov-Hausdorff-Abstand $d_{GH}(X,Y)$ definiert als:

$d_{\mathrm GH}(X,Y) := \inf\{d_{\mathrm H}(f(X),g(Y)) \mid f: X\rightarrow Z, \; g: Y \rightarrow Z \, \text{isometrische Einbettungen}\}$

wobei

$d_H\,(f(X),g(Y))$ den Hausdorff-Abstand von f(X) und g(Y) in Z bezeichnet.

Dieser ist definiert als:

$d_{\mathrm H}(X,Y): = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{.} \!$

Der Grenzwert einer im Sinne der Gromov-Hausdorff-Metrik konvergenten Folge wird als Hausdorff-Limit der Folge bezeichnet.

Punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz

Die punktierte Gromov-Hausdorff-Konvergenz ist das angemessene Analogon zur Gromov-Hausdorff-Konvergenz, wenn man nicht-kompakte metrische Räume betrachtet.

Ist $(X_n,p_n)$ eine Folge lokal kompakter vollständiger metrischer Räume, deren Metrik intrinsisch ist, so heißt diese gegen $(Y,q)$ konvergent, wenn für jedes $R>0$ die abgeschlossenen $R$-Bälle um $p_n$ im Gromov-Hausdorff-Sinne gegen den abgeschlossenen $R$-Ball um $q$ konvergieren.

Literatur

• M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9.