Gruppe (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Operation, die zwei Elemente der Menge zu einem dritten Element der gleichen Menge zusammenfasst und dabei noch drei weitere Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt. Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra.

Einführendes Beispiel

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$, die üblicherweise mit $\Z$ bezeichnet wird.

Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition erfüllt einige grundlegende Eigenschaften:

• Für zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ ist die Summe $a + b$ wieder eine ganze Zahl. Würde man hingegen zwei ganze Zahlen miteinander dividieren, so wäre das Ergebnis zu meist eine rationale Zahl und keine ganze Zahl mehr. Da dies bei der Addition nicht passieren kann, sagt man, dass die ganzen Zahlen unter der Addition abgeschlossen sind.
• Für alle ganzen Zahlen $a$, $b$ und $c$ gilt die Gleichheit

$(a + b) + c = a + (b + c)$.

In Worten ausgedrückt heißt dies, es ist egal, ob man zuerst $a$ und $b$ oder $b$ und $c$ addiert, das Ergebnis ist das gleiche. Diese Eigenschaft wird Assoziativgesetz genannt.

• Ist $a$ wieder eine ganze Zahl, dann gilt

$0 + a = a + 0 = a$.

Die Addition mit null verändert also die Ausgangszahl nicht. Daher nennt man Null das neutrale Element.

• Für jede ganze Zahl $a$ existiert eine ganze Zahl $b$, so dass $a + b = b + a = 0$ gilt. Das heißt zu jeder ganzen Zahl $a$ existiert eine ganze Zahl $b$, so dass ihre Summe null ergibt. Die Zahl $b$ heißt in diesem Fall das inverse Element von $a$ und wird mit $-a$ notiert.

Diese vier Eigenschaften der Menge der ganzen Zahlen zusammen mit ihrer Addition werden in der Definition der Gruppe für andere Mengen, auf der es eine passende Operation gibt, verallgemeinert.

Definition

Gruppe

Eine Gruppe ist ein Paar $(G,*)$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer zweistelligen Verknüpfung $*$ auf $G$. Das heißt, durch $*$ wird die Abbildung $*\colon G \times G \to G, (a,b) \mapsto a*b$ beschrieben. Erfüllt die Verknüpfung die folgenden Axiome, dann wird $(G,*)$ Gruppe genannt:

• Assoziativität: Für alle Gruppenelemente $a$, $b$ und $c$ gilt: $(a*b)*c = a*(b*c).$
• Es gibt ein neutrales Element $e\in G$, mit dem für alle Gruppenelemente $a\in G$ gilt: $a*e = e*a = a$.
• Zu jedem Gruppenelement $a\in G$ existiert ein inverses Element $a^{-1}\in G$ mit $a*a^{-1} = a^{-1}*a = e$.

Äquivalente Charakterisierung

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein linksneutrales Element $e \in G$, so dass gilt:

• Für alle Gruppenelemente $a$ gilt: $e*a = a.$
• Zu jedem $a \in G$ existiert ein linksinverses Element $a^{-1}$ mit $a^{-1}*a = e$.

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition.

Abelsche Gruppe

→ Hauptartikel: Abelsche Gruppe

Eine Gruppe $(G,*)$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

• Kommutativität: Für alle Gruppenelemente $a$ und $b$ gilt $a*b = b*a$.

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente $a,b \in G$ gibt, für die $a*b \ne b*a$ ist, heißt die Gruppe $(G,*)$ nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Anmerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung $*$ das Symbol $\cdot$ benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird auch durch $1$ symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Für Verknüpfungen von mehreren Elementen wird dann auch das Produktzeichen verwendet. Für $n \in \N$ wird die $n$-fache Verknüpfung eines Gruppenelements $a$ mit sich selbst als Potenz $a^n$ geschrieben und man definiert $a^0 = 1$ sowie $a^{-n} = (a^{-1})^n$.

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung $*$ das Symbol $+$ benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch $0$ symbolisiert. Das zum Gruppenelement $a$ inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch $a^{-1}$, sondern durch $-a$ symbolisiert. Eine $n$-fache Summe $a + a + \dotsb + a$ wird hier mit $n \cdot a$ bezeichnet und man setzt $0 \cdot a = 0$ sowie $(-n) \cdot a = n \cdot (-a)$. Eine abelsche Gruppe kann auf diese Weise als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen $\Z$ aufgefasst werden. Üblich ist die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.

Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für die Gruppe häufig nur $G$.

Beispiele

Im Folgenden werden einige Beispiele von Gruppen aufgeführt. So werden Gruppen von Zahlen, eine Gruppe mit genau einem Element und Beispiele von zyklischen Gruppen angeführt. Weitere Beispiele zu Gruppen finden sich in der Liste kleiner Gruppen.

Mengen von Zahlen

• Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition bildet eine (abelsche) Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation ist die Menge der ganzen Zahlen allerdings keine Gruppe.
• Die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ beziehungsweise die Menge der reellen Zahlen $\R$ ist zusammen mit der Addition eine Gruppe. Zusammen mit der Multiplikation sind die Mengen $\mathbb{Q} \setminus \{0\}$ und $\R \setminus \{0\}$ ebenfalls Gruppen.

Die triviale Gruppe

→ Hauptartikel: Triviale Gruppe

Die Menge, die nur ein Element $\{e\}$ hat, kann als Gruppe aufgefasst werden. Da jede Gruppe ein neutrales Element hat, muss genau dieses eine Element dann als das neutrale Element aufgefasst werden. Dann gilt also $e * e = e$. Mittels dieser Gleichheit, können auch die restlichen Gruppenaxiome bewiesen werden. Die Gruppe mit genau einem Element wird die triviale Gruppe genannt.

Zyklische Gruppen

→ Hauptartikel: Zyklische Gruppe

Die 6. komplexen Einheitswurzeln können als zyklische Gruppe aufgefasst werden.

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe

$\ldots , a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, e = a^{0}, a, a^2, a^3, \ldots$,

wobei $a^{-2} = a^{-1} \cdot a^{-1}$ meint und $e$ das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element $a$ wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch

$\ldots, -a -a, -a, 0, a, a+a, \ldots$

dargestellt werden können.

Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel $1$. Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen $z$, die die Gleichung

$z^n = 1$

erfüllen. Diese Gruppe kann als Eckpunkte eines regulären Polygons visualisiert werden. Für $n = 6$ ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit $z$ der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um $60^\circ$.

Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt zwei zyklische Gruppen mit jeweils $n$ Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen äquivalent zur zyklischen Gruppe $(\Z,+)$ der ganzen Zahlen.

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe

• Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Sind nämlich $e$ und $f$ neutrale Elemente, dann muss $e*f = f$ sein, da $e$ neutral ist, und $e*f = e$, da $f$ neutral ist. Somit folgt $e = f$.
• Es gilt die Kürzungsregel: Aus $a*b = a*c$ oder $b*a = c*a$ mit den Gruppenelementen $a, b, c$ folgt jeweils $b = c$. Dies sieht man durch

  $a*b = a*c \; \Rightarrow \; \underbrace{\left(a^{-1}*a\right)}_e*b = \underbrace{\left(a^{-1}*a\right)}_e*c \; \Leftrightarrow \; e*b = e*c \; \Leftrightarrow \; b = c$.

Daraus ergibt sich, dass die Verknüpfungstafel einer (endlichen) Gruppe ein Lateinisches Quadrat ist, bei dem in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.

• Die Gleichung $a*x = b$ ist stets eindeutig lösbar und die Lösung ist $x = a^{-1}*b$. Ebenso hat $x*a = b$ die eindeutige Lösung $x = b*a^{-1}$.
• Das zu einem Gruppenelement $a$ inverse Element $a^{-1}$ ist eindeutig bestimmt. Wenn $a'$ und $a''$ beide invers zu $a$ sind dann folgt:

$a'=a'*\underbrace{\left(a*a''\right)}_e=\underbrace{\left(a'*a\right)}_e*a''=a''\Rightarrow a'=a''$

• Es gilt $e^{-1} = e$ und $\left(a^{-1}\right)^{-1} = a$.
• Für alle Elemente gilt $\left(a*b\right)^{-1} = b^{-1}*a^{-1}$. Dies folgt aus der Gleichungskette

$\left(a*b\right)*\left(b^{-1}*a^{-1}\right) = a*\underbrace{\left(b*b^{-1}\right)}_e*a^{-1} = a*a^{-1} = e$.

Somit ist $b^{-1}*a^{-1}$ zu $a*b$ invers.

Gruppenhomomorphismus

→ Hauptartikel: Gruppenhomomorphismus

Gruppenhomomorphismen sind Abbildungen, die die Gruppenstruktur erhalten. Eine Abbildung

$\varphi \colon G \to H$

zwischen zwei Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,*)$ heißt Gruppenhomomorphismus oder kurz Homomorphismus, falls die Gleichung

$\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)$

für alle Elemente $a, b \in G$ gilt. Ist die Abbildung $\varphi$ zusätzlich bijektiv, so heißt sie Gruppenisomorphismus. In diesem Fall nennt man die Gruppen $(G,\cdot)$ und $(H,*)$ isomorph zueinander.