Monoidring

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Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition[Bearbeiten]

Sei  R ein kommutativer Ring mit Eins und  G ein Monoid, dann ist

 
R[G]:=\{\alpha\colon G\to R {\big |} \alpha(x)=0 für alle bis auf endlich viele x \}\,

mit der Addition

 (\alpha + \beta)(x):=\alpha(x) + \beta(x)

und der Faltung

 (\alpha\beta)(z):=\sum_{x y=z} {\alpha(x)\beta(y)}

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt  a \cdot x oder einfach  ax für die Abbildung  \alpha \in R[G] , die an der Stelle x den Wert a und ansonsten 0 annimmt. Beispielsweise gilt dann

(a\cdot x)(b\cdot y) = (ab) \cdot (xy)\quad\mathrm{f\ddot ur}\ a,b\in R\ \mathrm{und}\ x,y\in G.

R[G] besitzt ein Einselement, nämlich 1\cdot e, wobei 1 das Einselement von R und e das Neutralelement von G ist.

Ist G eine Gruppe, so heißt R[G] Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise RG ist üblich.

R[G] wird zur R-Algebra via r \sum_i r_i g_i := \sum_i r r_i g_i

Eigenschaften[Bearbeiten]

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch - bis auf Isomorphie - über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien G und R wie oben definiert. Es bezeichne \mathbf{Mon} die Kategorie der Monoide und \mathbf{Alg_R} die Kategorie der (assoziativen) R-Algebren. Sei U: \mathbf{Alg_R} \to \mathbf{Mon} der Vergissfunktor, d.h. der Funktor, der jeder R-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung \phi: G \to U(R[G]), g \mapsto 1g universell, d.h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus f: G \to U(A) in das multiplikative Monoid einer R-Algebra A haben, dann existiert genau ein R-Algebra-Homomorphismus \bar f: R[G] \to A, so dass U(\bar f) \circ \phi = f.

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht \bar f wie folgt aus: \bar f (\sum_i r_i g_i) = \sum_i r_i f(g_i).

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über R zuordnet, mit F bezeichnen, ist also F linksadjungiert zu U. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele[Bearbeiten]

  • R[N0] ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über R.
  • Ist allgemeiner G ein freies kommutatives Monoid in n Erzeugern, so ist R[G] isomorph zum Polynomring in n Unbestimmten über R.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Siehe auch: Gruppen-C*-Algebra
  • Es sei G eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist G nicht diskret, so enthält der Gruppenring \mathbb C[G] keine Information über die topologische Struktur von G. Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: es sei \mu ein linksinvariantes Haarmaß auf G. Dann bildet der Raum L^1(G,\mu) mit der Faltung
(f*g)(\sigma)=\int_G f(\tau)g(\tau^{-1}\sigma)\,\mathrm d\mu(\tau)
als Produkt eine Banachalgebra.
  • Ist A ein Ring und G eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d.h.
aus \alpha<\beta und \gamma<\delta folgt \alpha\gamma<\beta\delta,
so sei
S(G,A)=\{f\colon G\to A\mid\mathrm{supp}\,f\ \mathrm{wohlgeordnet}\}
mit \mathrm{supp}\,f:=\{g\in G\mid f(g)\not=0\}. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird S(G,A) zu einem Ring. Ist A ein Körper, so ist S(G,A) ein Schiefkörper. Ist beispielsweise G=\mathbb Z mit der natürlichen Ordnung, so ist S(G,A) der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in A.

Literatur[Bearbeiten]

  • Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)