Hölder-Raum

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Der Hölder-Raum (nach Otto Hölder) ist in der Mathematik ein Banachraum von Funktionen, der in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen eine Rolle spielt. Dort sind Hölder-Räume eine natürliche Wahl, um Existenztheorie betreiben zu können.

Definition[Bearbeiten]

Sei U \subset \R^n. Der Hölder-Raum C^{k,\gamma}(U) ist die Menge aller Funktionen u:U\rightarrow\R mit u \in C^k(U), für die folgende Norm endlich ist:

\|u\|_{C^{k,\gamma}(U)} := \sum_{|\alpha| \le k}\|D^\alpha u\|_{C(U)} + \sum_{|\alpha|=k}[D^\alpha u]_{C^{0,\gamma}(U)}.

Hier bezeichnet

\|D^\alpha u\|_{C(U)} := \sup\left\{|D^\alpha u(x)|\ |\ x \in U\right\}

die Supremumsnorm und

[D^\alpha u]_{C^{0,\gamma}(U)} := \sup\left\{\left.\frac{|D^\alpha u(x) - D^\alpha u(y)|}{|x-y|^\gamma}\ \right|\ x,y \in U, x \ne y\right\}

eine Halbnorm. Für C^{0,\gamma}(\Omega) schreibt man auch C^\gamma(\Omega).

Der Hölder-Raum ist also der Raum der k-mal stetig differenzierbaren, beschränkten Funktionen von U nach \R, deren k-ten partiellen Ableitungen Hölder-stetig zu einer Konstanten \gamma \in (0,1] und ebenfalls beschränkt sind. Im Spezialfall \gamma = 1 spricht man meistens von Lipschitz-Stetigkeit.

Satz von Kellogg[Bearbeiten]

Sei \gamma \in (0, 1] und \Omega \subset \mathbb{R}^n ein beschränktes Gebiet mit C^{2,\gamma}-Rand sowie L ein streng elliptischer Operator in \Omega mit Koeffizienten in C^\gamma(\Omega), d. h.

Lu := \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x)\cdot(D^{ij}u)(x) + \sum_{i=1}^n b^i(x)\cdot(D^iu)(x) + c(x)\cdot u(x),

wobei a^{ij}, b^i, c: \Omega \rightarrow \mathbb{R} in C^\gamma(\Omega) liegen und die Matrix A(x) := (a^{ij}(x))_{i,j=1,\ldots,n} die Elliptizitätsbedingung

\langle A(x)\xi, \xi\rangle \geq \lambda\|\xi\|^2 für alle x \in \Omega, \xi \in \mathbb{R}^n

mit einer von x, \xi unabhängigen Konstanten \lambda > 0 erfüllt. Weiter sei die Funktion c \leq 0 nichtpositiv sowie f \in C^\gamma(\Omega) und \varphi \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{2,\gamma}(\Omega). Dann besitzt die Gleichung

\left\{\begin{array}{rlll}Lu&=&f&\textrm{in}\ \Omega\ ,\\u&=&\varphi&\textrm{auf}\ \partial\Omega\ ,\end{array}\right.

eine eindeutige klassische Lösung u \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{2,\gamma}(\Omega).

Da die obige Gleichung keine klassische Lösung u besitzt, falls von f lediglich Stetigkeit gefordert wird, ist die Kontrolle des Stetigkeitsmoduls von Relevanz für die Existenztheorie in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hölder-Räume sind eine Klasse von Funktionen, innerhalb derer klassische Existenztheorie betrieben werden kann.

Literatur[Bearbeiten]

  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43947-1.
  • D. Gilbarg, N. S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 224, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1977, ISBN 3-540-08007-4.