Halbstetigkeit

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In der Mathematik heißt eine reellwertige Funktion f oberhalbstetig (oder halbstetig von oben) in einem Punkt x, wenn die Funktionswerte für Argumente nahe bei x von x ausgehend nicht nach oben springen. Wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen, dann heißt die Funktion unterhalbstetig in x (oder halbstetig von unten).

Definition[Bearbeiten]

Oberhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt (x_0,f(x_0)) an)

Sei X ein topologischer Raum, x in X und f: X \to \mathbb{R} eine reellwertige Funktion. f heißt in x_0 oberhalbstetig, wenn für jedes \varepsilon > 0 eine Umgebung U von x_0 existiert, so dass f(y) < f(x_0) + \varepsilon für alle y in U gilt. Ist X ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist f genau dann oberhalbstetig in x, falls

\limsup_{y\to x} f(y) \le f(x).

f heißt oberhalbstetig auf einer Teilmenge M von X, wenn sie in jedem Punkt x_0\in M oberhalbstetig ist. Ist dabei M der ganze topologische Raum X, so heißt f oberhalbstetig.

Unterhalbstetige Funktion (der vollausgefüllte blaue Punkt gibt (x_0,f(x_0)) an)

Analog heißt f im Punkt x_0 unterhalbstetig, wenn für jedes \varepsilon > 0 eine Umgebung U von x_0 existiert, so dass f(y) > f(x_0) - \varepsilon für alle y in U. Ist X ein Raum, in dem jede folgenstetige Funktion auch stetig ist, etwa ein metrischer Raum, so ist f genau dann unterhalbstetig in x, falls

\liminf_{y\to x} f(y) \ge f(x).

f heißt unterhalbstetig auf einer Teilmenge M von X, wenn sie in jedem Punkt x_0\in M unterhalbstetig ist. Ist dabei M der ganze topologische Raum X, so heißt f unterhalbstetig.

Zusammenhang der beiden Halbstetigkeitsbegriffe: Die Funktion f ist genau dann oberhalbstetig in x_0\in X bzw. auf M\subseteq X wenn -f unterhalbstetig in x_0\in X bzw. auf M\subseteq X ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Funktion f mit f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x ≥ 0 ist oberhalbstetig, aber nicht unterhalbstetig in x = 0. Denn geht man mit den Argumenten in negative Richtung von der 0 weg, dann springen die Funktionswerte plötzlich von 1 auf 0 runter, aber sie springen nicht nach oben, egal wohin man weggeht.

Die Gaußklammer ist oberhalbstetig, denn sie verhält sich an jeder ganzen Zahl so wie die eben beschriebene Funktion f.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Eine Funktion ist stetig in x genau dann, wenn sie dort halbstetig von oben und von unten ist.

Sind f und g zwei in x oberhalbstetige Funktionen, dann ist auch ihre Summe f+g in x oberhalbstetig. Sind beide Funktionen nichtnegativ in einer Umgebung von x, dann ist auch das Produkt fg in x oberhalbstetig. Die Multiplikation einer positiven oberhalbstetigen Funktion mit einer negativen reellen Zahl ergibt eine unterhalbstetige Funktion.

Ist D eine kompakte Menge (zum Beispiel ein abgeschlossenes Intervall [a, b] mit reellen Zahlen  a < b) und f: D \to \mathbb{R} oberhalbstetig, dann hat f ein Maximum auf D. Analoges gilt für eine unterhalbstetige Funktion und ihr Minimum.

Sind die Funktionen f_n: X \to \mathbb{R} (für alle n aus \mathbb{N}) unterhalbstetig und ihr Supremum

f(x) := \sup \{f_n(x) : n \in \mathbb{N}\}

kleiner als ∞ für jedes x in X, dann ist f unterhalbstetig. Selbst wenn alle f_n stetig sind, muss f aber nicht stetig sein.

Alternative Beschreibung[Bearbeiten]

Durch eine geeignete Wahl einer Topologie auf \mathbb{R} können oberhalbstetige und unterhalbstetige Funktionen als stetige Funktionen aufgefasst werden, und somit lassen sich einige der Eigenschaften direkt aus allgemeinen Aussagen aus der Topologie herleiten.

O_{<}:=\Big\{\left]-\infty,a\right[;a\in\R\cup\{+\infty\}\Big\}\cup\{\varnothing\} ist eine Topologie auf \R. Sei (X,O) ein topologischer Raum. Eine Funktion f\colon X\to\R ist genau dann oberhalbstetig, wenn f als Abbildung (X,O)\to (\R,O_{<}) stetig ist.

Für unterhalbstetige Funktionen verwendet man analog die Topologie O_{>}:=\Big\{\left]a,\infty\right[;a\in\R\cup\{-\infty\}\Big\}\cup\{\varnothing\}.

Siehe auch[Bearbeiten]