Hamiltonsche Gruppe

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In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe Dedekindsche Gruppe (nach R. Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine Dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden Hamiltonsche Gruppen genannt (nach W. R. Hamilton).

Die Hamiltonschen Gruppen können nach einem auf R. Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:[1]

  • Jede endliche Hamiltonsche Gruppe G ist von der Form G\cong Q_8\times A \times (\Z/2\Z)^n, wobei

Ist n=0, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe A kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste Hamiltonsche Gruppe und jede Hamiltonsche Gruppe enthält eine zur Quaternionengruppe isomorphe Untergruppe.

Demnach sind Q_8 \times Q_8 und Q_8 \times \Z/4\Z keine Hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind \{(q,q); q\in Q_8\} bzw. \{(1,\overline{0}), (i,\overline{1}), (-1,\overline{2}), (-i,\overline{3})\}\, nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich Q_8\,=\,\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\} und \Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\} sei.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (1967), Band 134, ISBN 3-540-03825-6, Satz III,7.12

Quellen[Bearbeiten]