Harmonische Funktion

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Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Definition[Bearbeiten]

Sei U \subseteq \mathbb{R}^n eine offene Teilmenge. Eine Funktion f : U \rightarrow \mathbb{R} heißt harmonisch in U, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle x \in U

\Delta f(x) = 0

gilt. Dabei bezeichnet \Delta = \tfrac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \tfrac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \tfrac{\partial^2}{\partial x_n^2} den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft[Bearbeiten]

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion f : U \rightarrow \mathbb{R} ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

f(x) = \frac{1}{r^{n-1} s_n} \int_{\partial B(x, r)} f(y) \mathrm{d} \sigma(y)

für alle Kugeln \ B(x, r) mit \overline{B}(x, r) \subset U. Hierbei bezeichnet \ s_n das Oberflächenmaß der n-dimensionalen Einheitssphäre.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes U nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss \overline{U}, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand \partial U angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei f harmonisch in U. Dann gilt für die Ableitungen
    \left| D^\alpha f(x)\right| \leq \frac{\left(2^{n+1} n |\alpha|\right)^{|\alpha|}}{v_n} \left\|f\right\|_{L^1(B(x,r))},
    wobei v_n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge V \subset\subset U gibt es eine Konstante C \geq 0, die nur von dem Gebiet V abhängt, so dass für jede in U harmonische und nichtnegative Funktion f
    \sup_V f \leq C \inf_V f
    gilt.
  • Im Sonderfall n = 2 für ein einfach zusammenhängendes Gebiet U \subset \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C} können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Grundlösung

S(x) := \left\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2\pi}\ln|x|\ ,&n=2\ ,\\
\frac{1}{(n-2)\omega_n}\frac{1}{\|x\|^{n-2}}\ ,&n \geq 3\ ,\\\end{array}\right.

ist eine auf \mathbb{R}^n\setminus\{0\} harmonische Funktion, worin \omega_n das Maß der Einheitssphäre im \mathbb{R}^n bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Literatur[Bearbeiten]

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).