Harnack-Ungleichung

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In der Mathematik geben Harnack-Ungleichungen Abschätzungen für die oberen Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen, insbesondere der Wärmeleitungsgleichung. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Axel Harnack.

Klassische Harnack-Ungleichung[Bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten]

Es sei u \colon M\times \left[0,T\right]\rightarrow [0,\infty) eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u,

wobei \Delta den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit M bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von M abhängende Konstante C, so dass

\sup_{x\in M}u(x,t)\le C \inf_{x\in M}u(x,t)

für alle 0\le t\le T gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante C in Abhängigkeit von der Geometrie von M ist ein schwieriges Problem.

Harmonische Funktionen[Bearbeiten]

Insbesondere gilt \sup_{x\in M}u(x)\le C \inf_{x\in M}u(x) für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen u:M\rightarrow [0,\infty).

Beispiel[Bearbeiten]

Sei M=B(x_0,R)\subset\mathbb R^n der Ball mit Radius R und Mittelpunkt x_0 im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

u:B(x_0,R)\rightarrow [0,\infty)

die Ungleichung

\displaystyle{{1-(r/R)\over [1+(r/R)]^{n-1}}u(x_0)\le u(x) \le  {1+(r/R)\over [1-(r/R)]^{n-1}} u(x_0)}

mit r=\parallel x-x_0\parallel für alle x\in B(x_0,R).

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für M=B(x_0,R) mit C= \frac{1+(r/R)}{[1-(r/R)]^{n-1}}\frac{[1+(r/R)]^{n-1}}{1-(r/R)}.

Differentielle Harnack-Ungleichung[Bearbeiten]

Sei M eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand, dann gilt für jede positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung

\frac{\partial_tu}{u}-\frac{\mid\nabla u\mid^2}{u^2}+\frac{n}{2t}\ge 0.

Aus dieser Ungleichung kann man häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.

Literatur[Bearbeiten]