Harris-Kette

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Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Ted Harris, ist eine spezielle Markow-Kette in diskreter Zeit auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition[Bearbeiten]

Sei (S, \Sigma) ein messbarer Raum. Sei (X_n)_{n \in \N_0} eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum (S, \Sigma) mit Übergangskern P. Dann heißt (X_n)_{n \in \N_0} Harris-Kette[1], falls es Mengen A, B \in \Sigma, ein \varepsilon > 0 und ein Wahrscheinlichkeitsmaß \rho auf (S, \Sigma) mit \rho(B) = 1 existieren, so dass gilt:

  1. Für alle x_0 \in S gilt \text{P}(\tau_A < \infty \mid X_0 = x_0) > 0 und
  2. für alle x\in A und alle messbaren C \subseteq B gilt P(x,C) \geq \varepsilon \rho(C)\,.

Dabei bezeichnet \tau_A = \inf\{n \in \N_0 : X_n \in A\} den ersten Eintrittszeitpunkt der Kette in die Menge A.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Rick Durret: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, Abschnitt 6.8, S. 318ff (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).