Hartley-Transformation

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Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte.[1]

Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht.[2]

Definition[Bearbeiten]

Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:

 H(\omega) = \left\{\mathcal{H}f(t)\right\}(\omega) =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mbox{cas}(\omega t) \mathrm{d}t

mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:

\mbox{cas}(t) = \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin (t+\pi /4) = \sqrt{2} \cos (t-\pi /4)

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend des Faktor \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}} abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor \tfrac{1}{2\pi} auftritt.

Inverse Transformation[Bearbeiten]

Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:

f = \{\mathcal{H} \{\mathcal{H}f \}\}

Bezug zur Fourier-Transformation[Bearbeiten]

Die Fourier-Transformation

F(\omega) = \mathcal{F} \{ f(t) \}(\omega)

weicht durch ihren komplexen Kern:

\exp\left({-\mathrm{j}\omega t}\right) = \cos(\omega t) - \mathrm{j} \sin(\omega t)

mit der imaginären Einheit j von dem rein reellen Kern cas(ωt) der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:

F(\omega) = \frac{H(\omega) + H(-\omega)}{2} - \mathrm{j} \frac{H(\omega) - H(-\omega)}{2}

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

Beziehungen des Hartley-Kerns[Bearbeiten]

Für den „Hartley-Kern“ \mbox{cas}(t) lassen sich folgende Beziehungen aus den trigonometrischen Funktionen ableiten:

Das Additionstheorem:

 2 \mbox{cas} (a+b) = \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) + \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) - \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \,

und

\mbox{cas} (a+b) = \cos (a) \mbox{cas} (b) + \sin (a) \mbox{cas} (-b) = \cos (b) \mbox{cas} (a) + \sin (b) \mbox{cas}(-a) \,

Die Ableitung ist gegeben als:

\frac{\mbox{d cas} (a)}{\mbox{d } a} = \cos (a) - \sin (a) = \mbox{cas}(-a)

Literatur[Bearbeiten]

  •  Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.
  •  Ronald Newbold Bracewell: The Hartley Transform. 1. Auflage. Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-503969-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Ralph Hartley: A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems. In: Institute of Radio Engineers (Hrsg.): Proceedings of the IRE. Vol. 30, Nr. 3, März 1942, ISSN 0096-8390, S. 144-150 (IEEE Xplore Digital Library, abgerufen am 25. August 2010).
  2.  R.N. Bracewell: Aspects of the Hartley transform. Proceedings of the IRE, 82 (3), 1994, doi:10.1109/5.272142.