Hauptideal

Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

Definition

Ein Hauptideal eines Ringes R ist ein von einem einzigen Element $a\in R$ erzeugtes Ideal

$(a) \colon= \left(\left\{a\right\}\right).$

Eigenschaften

Mit den Komplexprodukten

$Ra := \{ra \mid r\in R\},$

$aR := \{ar \mid r\in R\}$

und

$RaR := \{ras \mid r,s\in R\}$

gilt jeweils für das von $a\in R$ erzeugte

• Haupt-Linksideal:

  $(a) = \{a\} \cup Ra,$

• Haupt-Rechtsideal:

  $(a) = \{a\} \cup aR,$

• (zweiseitige) Hauptideal:

  $(a) = \{a_1 + \ldots + a_n \mid n \in \Bbb N, a_i\in \{a\}\cup Ra\cup aR\cup RaR\}.$

Falls der Ring R ein Einselement 1 besitzt, folgt für das

• Haupt-Linksideal:

  $\left(a\right) = Ra,$

• Haupt-Rechtsideal:

  $\left(a\right) = aR,$

• (zweiseitige) Hauptideal:

  $(a) = \{a_1 + \ldots + a_n \mid n \in \Bbb N, a_i\in RaR\}.$

Bemerkungen

• In kommutativen Ringen stimmen alle drei Arten von Hauptidealen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.
• Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring $\Bbb C[X, Y]$ aller Polynome in zwei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten. Das von den beiden Polynomen X und Y erzeugte Ideal (X,Y) besteht aus allen Polynomen aus $\Bbb C[X, Y]$, deren Absolutglied gleich 0 ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom p ein Erzeuger von (X,Y), dann müssten X und Y Vielfache von p sein, also wäre p konstant. Das einzige konstante Polynom in (X,Y) ist aber das Nullpolynom, und dieses erzeugt lediglich das einelementige Nullideal (0).

Verwandter Begriff

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring (engl. principal ideal domain, PID).

Literatur

• Siegfried Bosch Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• Jantzen und Schwermer: Algebra. Springer 2005, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X.
• Bernhard Hornfeck: Algebra. 3. Auflage. De Gruyter 1976, ISBN 3-11-006784-6
• Gisbert Wüstholz: Algebra. Vieweg, 2004, ISBN 3528072911.