Hauptkrümmung

Hauptkrümmung ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Jedem Punkt einer gegebenen Fläche im dreidimensionalen Raum ($\mathbb{R}^3$) werden zwei Hauptkrümmungen zugeordnet.

Definition

Gegeben sei ein Punkt einer regulären Fläche im $\mathbb{R}^3$. Jeder Tangentialrichtung, also jeder Richtung, die ein Tangentialvektor in diesem Punkt annehmen kann, wird die Normalkrümmung zugeordnet: Man versteht darunter die Krümmung der ebenen Kurve, die sich durch einen Normalschnitt ergibt, also durch einen Schnitt der gegebenen Fläche mit der durch den Flächennormalenvektor und die gegebene Tangentialrichtung bestimmten Ebene. Den Minimalwert und den Maximalwert dieser Krümmungen bezeichnet man als die beiden Hauptkrümmungen k₁ und k₂.

Beispiele

Sattelfläche mit den Normalenebenen in Richtung der Hauptkrümmungen

• Bei einer Kugel mit Radius r stimmen in jedem Punkt die beiden Hauptkrümmungen überein: k₁ = k₂ = 1 / r

• Gegeben sei die gekrümmte Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Grundkreisradius r. In diesem Fall haben die Hauptkrümmungen in einem beliebigen Punkt der Fläche die Werte 0 (Tangentialrichtung parallel zur Achse des Zylinders) und 1 / r (Tangentialrichtung senkrecht zur Achse des Zylinders).

Dasselbe gilt für die Kegel sowie für die abwickelbaren Flächen (oder Torsen). Dabei ist eine Torse (falls sie kein Kegel oder Zylinder ist) die von den Tangenten einer Raumkurve gebildete Fläche.

• Gegeben sei ein Ellipsoid mit den Halbachsen a, b und c. In den Endpunkten (Scheitelpunkten) der Halbachse a sind die Hauptkrümmungen gleich a / b² und a / c².

Eigenschaften

• Die beiden Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte der Weingartenabbildung.

• Die zu den beiden Hauptkrümmungen gehörigen Tangentialrichtungen sind zueinander senkrecht.

• Schränkt man die zweiten Fundamentalform auf den Einheitskreis in der Tangentialebene ein, dann hat die resultierende Funktion die Hauptkrümmungen als Extremwerte.

• Die gaußsche Krümmung K ist das Produkt der Hauptkrümmungen: K = k₁k₂

• Die mittlere Krümmung H ist das arithmetische Mittel der Hauptkrümmungen: $H = \tfrac{1}{2} (k_1 + k_2)$

• Sind die gaußsche Krümmung K und die mittlere Krümmung H bekannt, so ergeben sich die Hauptkrümmungen als Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung: $k^2 - 2 H k + K \, = \, 0$

• Für eine beliebige Tangentialrichtung lässt sich die Normalkrümmung k_n durch die beiden Hauptkrümmungen ausdrücken:

$k_n \, = \, k_1 \cos^2 \epsilon + k_2 \sin^2 \epsilon$ (Satz von Euler)

Dabei steht $\epsilon$ für den Winkel zwischen der gegebenen Tangentialrichtung und der zu k₁ gehörigen Tangentialrichtung.

Klassifizierung von Flächenpunkten

Ein Punkt einer Fläche heißt

• elliptischer Punkt, wenn $k_1\cdot k_2>0$, also wenn beide Hauptkrümmungen dasselbe Vorzeichen haben
• hyperbolischer Punkt, wenn $k_1\cdot k_2<0$, also die Vorzeichen entgegengesetzt sind
• parabolischer Punkt, wenn genau eine der beiden Hauptkrümmungen null ist
• Flachpunkt, wenn k₁ = k₂ = 0 gilt
• Nabelpunkt, wenn k₁ = k₂ gilt

Ein elliptischer Nabelpunkt heißt auch eigentlicher Nabelpunkt.

In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (K > 0), das ist der Fall, wenn die Mittelpunkte der Krümmungskreise der Normalschnitte durch beide Hauptrichtungen auf derselben Seite der Fläche liegen, z. B. auf der Oberfläche eines Ellipsoids oder anschaulicher bei doppelt gekrümmten Flächentragwerken wie Kuppeln. In hyperbolischen Punkten liegen die Mittelpunkte der beiden (Haupt-)Krümmungskreise dagegen auf unterschiedlichen Seiten der Fläche wie bei einer Sattelfläche, die gaußsche Krümmung ist dort negativ (K < 0). In parabolischen Punkten, wie z. B. auf einer Zylinderoberfläche, oder in Flachpunkten ist die gaußsche Krümmung gleich Null.

Die Dupinsche Indikatrix in einem elliptischen Punkt ist eine Ellipse (in einem elliptischen Nabelpunkt ein Kreis), in einem hyperbolischen Punkt eine Hyperbel und in einem parabolischen Punkt ein Paar paralleler Geraden.

Zusammenhängende reguläre Flächen, die ganz aus Nabelpunkten bestehen, sind Teilmengen einer Ebene oder einer Kugeloberfläche.

Sind auf einer offenen Umgebung U eines Punktes p zwei Vektorfelder gegeben, die in p linear unabhängig sind, so gibt es eine Parametrisierung einer Umgebung $V\subset U$ von p, so dass die Vektorfelder tangential zu den Koordinatenlinien sind. Ist p kein Nabelpunkt, so gibt es also eine Parametrisierung einer Umgebung, so dass die Koordinatenlinien Krümmungslinien sind, d. h. tangential zu den orthogonalen Hauptrichtungen sind. (In einem Nabelpunkt ist jede Richtung Hauptrichtung.) In der Umgebung eines hyperbolischen Punktes gibt es stets eine Parametrisierung, so dass die Koordinatenlinien Asymptotenlinien sind, also verschwindende Normalkrümmung haben.

Einzelnachweise

Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2. 

Manfredo Perdigão do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1976, ISBN 0-13-212589-7.