Hausdorff-Metrik

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Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand δ(A,B) zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen A, B eines metrischen Raums E.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen umso geringeren Hausdorff-Abstand, je besser sie einander wechselseitig überdecken.

Definition[Bearbeiten]

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand D zwischen einem Punkt x und einer nichtleeren kompakten Teilmenge K\subseteq E unter Rückgriff auf die Metrik d des Raums E als

D(x,K):=\min \{d(x,k) \mid k\in K\}.

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen A und B als

\delta(A,B):= \max \{\max\{D(a,B) \mid a\in A\} , \max\{D(b, A) \mid b\in B\} \}.

Man kann zeigen, dass \delta in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von E ist.

Anwendungen[Bearbeiten]

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]