Hausdorff-Metrik

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand δ(A,B) zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen A, B eines metrischen Raums E.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen umso geringeren Hausdorff-Abstand, je besser sie einander wechselseitig überdecken.

Definition

Als Hilfsmittel definiert man den Abstand $D$ zwischen einem Punkt $x$ und einer nichtleeren kompakten Teilmenge $K\subseteq E$ unter Rückgriff auf die Metrik $d$ des Raums $E$ als

$D(x,K):=\min \{d(x,k) \mid k\in K\}.$

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen $A$ und $B$ als

$\delta(A,B):= \max \{\max\{D(a,B) \mid a\in A\} , \max\{D(b, A) \mid b\in B\} \}.$

Man kann zeigen, dass $\delta$ in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von $E$ ist.

Anwendungen

In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz
• Auswahlsatz von Blaschke
• Gromov-Hausdorff-Metrik

Literatur

•  M. I. Voitsekhovskii: Hausdorff metric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).