Hausdorff-Raum

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Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden.

Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum) (nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das Trennungsaxiom T_2 (auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff'sches Trennungsaxiom genannt) gilt.

Definition[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum M hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle x,y \in M mit x \neq y disjunkte offene Umgebungen U_x und V_y existieren.

Mit anderen Worten: alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt. Ein topologischer Raum, der die Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er präregulär (R_1) ist:

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt,

und die Kolmogoroff-Eigenschaft (T_0) besitzt:

alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht.

Beweis:

  • Wenn R_1 und T_0 gegeben sind, folgt unmittelbar T_2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
  • Der umgekehrte Schluss von T_2 auf R_1 und T_0 geht so:
    • Aus der Definition von T_2 folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U_x, die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T_0.
    • Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist x\neq y. Dann folgt mit T_2, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R_1.

Spezialisierung[Bearbeiten]

Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Beispiele[Bearbeiten]

Insbesondere sind in topologischen Hausdorff-Räumen Grenzwerte – anders als in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig.

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Viele Beispiele nicht-Hausdorffscher Räume erhält man als Quotientenräume von Mannigfaltigkeiten bzgl. mancher Gruppenwirkungen oder allgemeinerer Äquivalenzrelationen. Zum Beispiel ist der Blattraum der Reeb-Blätterung (also der Quotientenraum bzgl. der Äquivalenzrelation: zwei Punkte sind äquivalent gdw. sie zum selben Blatt gehören) nicht Hausdorffsch.

Lokaleuklidische Räume müssen nicht Hausdorffsch sein. Der aus zwei Kopien von \R^1 durch Identifizierung eines offenen Intervalls entstehende Raum ist lokal homöomorph zum \R^1, aber nicht Hausdorffsch.

Literatur[Bearbeiten]