Hausdorff-Raum

Zwei Punkte, die durch Umgebungen getrennt werden.

Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum) (nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum $M$, in dem das Trennungsaxiom $T_2$ (auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff'sches Trennungsaxiom genannt) gilt.

Definition

Ein topologischer Raum $M$ hat die Hausdorffeigenschaft, wenn für alle $x,y \in M$ mit $x \neq y$ disjunkte offene Umgebungen $U(x)$ und $V(y)$ existieren.

Mit anderen Worten: alle paarweise verschiedenen Punkte $x$ und $y$ aus $M$ werden durch Umgebungen getrennt. Ein topologischer Raum, der die Hausdorffeigenschaft erfüllt, wird Hausdorff-Raum genannt.

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn er präregulär ($R_1$) ist:

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte $x$ und $y$ aus $M$ werden durch Umgebungen getrennt,

und die Kolmogoroff-Eigenschaft ($T_0$) besitzt:

alle paarweise verschiedenen Punkte $x$ und $y$ aus $M$ sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte $x$ und $y$ genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht.

Beweis:

• Wenn $R_1$ und $T_0$ gegeben sind, folgt unmittelbar $T_2$: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
• Der umgekehrte Schluss von $T_2$ auf $R_1$ und $T_0$ geht so:
  • Aus der Definition von $T_2$ folgt für verschiedene $x$, $y$ die Existenz der Menge $U(x)$, die $x$, aber nicht $y$ enthält, ergo gilt $T_0$.
  • Seien $x$, $y$ zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist $x\neq y$. Dann folgt mit $T_2$, dass $x$ und $y$ durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt $R_1$.

Spezialisierung

Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T₄-Raum bezeichnet.

Beispiele

Insbesondere sind in topologischen Hausdorff-Räumen Grenzwerte – anders als in allgemeinen topologischen Räumen – eindeutig.

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).