Hawking-Strahlung

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Die Hawking-Strahlung ist eine von dem britischen Physiker Stephen Hawking 1975 postulierte Strahlung Schwarzer Löcher. Sie wird aus Konzepten der Quantenfeldtheorie und der Allgemeinen Relativitätstheorie abgeleitet.[1]

Die Hawking-Strahlung ist auch für die aktuelle Forschung von Interesse, weil sie als potentielles Testfeld für eine quantenmechanische Theorie der Gravitation dienen könnte.

Heuristische Überlegungen führten J. D. Bekenstein bereits 1973 zu der Hypothese, dass die Oberfläche des Ereignishorizonts ein Maß für die Entropie eines Schwarzen Loches sein könnte (Bekenstein-Hawking-Entropie). Dann müsste nach der Thermodynamik einem Schwarzen Loch aber auch eine endliche Temperatur zugeordnet werden können, und es müsste im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung stehen. Das ergab ein Paradoxon, da man damals eigentlich davon ausging, dass keine Strahlung aus Schwarzen Löchern entkommen könne. Hawking stellte quantenmechanische Berechnungen an und fand zu seiner eigenen Überraschung, dass doch eine thermische Strahlung vorhanden war.

Ähnliche Phänomene wie in der Hawking-Strahlung treten in der Kosmologie auf (Gibbons-Hawking-Effekt) und bei beschleunigten Bezugssystemen (Unruh-Effekt).

Anschauliche Interpretation[Bearbeiten]

Im Gegensatz zur klassischen Physik ist in der Quantenelektrodynamik (und anderen Quantenfeldtheorien) das Vakuum kein „leeres Nichts“, sondern ein kompliziertes Gebilde von Vakuumfluktuationen. Diese Vakuumfluktuationen bestehen aus virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Paaren, die nach der quantenmechanischen Unschärferelation nur für kurze Zeit existieren. Diese Paare können sowohl massive als auch masselose Teilchen wie Photonen sein. Die Erzeugung und Vernichtung von virtuellen Teilchen findet auch in der unmittelbaren Nähe des Ereignishorizonts schwarzer Löcher statt. Dabei entstehen zuerst virtuelle Teilchen-Antiteilchen-Paare, wobei aufgrund der Energieerhaltung der eine Partner negative und der andere Partner positive Energie besitzt. In diesem Fall kann ein virtuelles Teilchen mit negativer Energie in das Schwarze Loch fallen. Dadurch werden die beiden Partner durch den Ereignishorizont getrennt. Der eine Partner stürzt in das Schwarze Loch, während der zweite Partner als reales Teilchen in den freien Raum entkommen kann. Das hineinstürzende Teilchen mit negativer Energie setzt dabei soviel potenzielle Energie frei, wie für eine Paarbildung sowie das Hinauskatapultieren des anderen Teilchens aus dem Gravitationsfeld nötig ist. „Nach der Einsteinschen Gleichung E=mc² ist die Energie der Masse proportional. Fließt negative Energie in das Schwarze Loch, verringert sich infolgedessen seine Masse“ [2]. An anderer Stelle[3] benutzt Hawking eine andere Interpretation von Teilchen-Antiteilchen-Paaren, um die Hawking-Strahlung zu veranschaulichen: da ein Antiteilchen auch als Teilchen aufgefasst werden kann, das rückwärts in der Zeit läuft könnte man ein in das Schwarze Loch fallendes Antiteilchen als Teilchen interpretieren, das aus dem Schwarzen Loch kommt und am Ereignishorizont, wo die ursprüngliche Paarbildung stattfand, durch das Gravitationsfeld als Teilchen in die Zeit-Vorwärtsrichtung gestreut wird.

Diejenigen Teilchen, die dem Schwarzen Loch als reelle Teilchen entkommen, bilden die Hawking-Strahlung. Sie ist thermischer Natur in der Art von Schwarzkörperstrahlung und mit einer bestimmten Temperatur verbunden, die umgekehrt proportional zur Masse ist. Anschaulich lässt sich das so verstehen, dass die Hawking-Strahlung aus einem Raum-Zeit-Bereich stammt, der nach dem No Hair Theorem (siehe Schwarzes Loch) für Schwarze Löcher nur durch Masse, Drehimpuls und elektrische Ladung gekennzeichnet ist.

Da die Vakuumfluktuationen durch eine starke Krümmung der Raumzeit begünstigt werden, ist dieser Effekt besonders bei Schwarzen Löchern geringer Masse bedeutsam. Schwarze Löcher geringer Masse sind von geringer Ausdehnung (Schwarzschildradius), ihr Ereignishorizont und die umgebende Raumzeit sind entsprechend stärker gekrümmt. Je größer und damit massereicher ein Schwarzes Loch ist, desto weniger strahlt es also. Je kleiner ein Schwarzes Loch ist, umso größer ist die Temperatur und Hawking-Strahlung und umso schneller verdampft es.

Große Schwarze Löcher, wie sie aus Supernovae entstehen, haben eine so geringe Strahlung (überwiegend Photonen), dass diese im Universum nicht nachweisbar ist. Kleine Schwarze Löcher haben dagegen nach dieser Theorie eine deutliche Wärmestrahlung, was dazu führt, dass ihre Masse rasch abnimmt. So hat ein Schwarzes Loch der Masse 1012 Kilogramm – der Masse eines Berges – eine Temperatur von etwa 1011 Kelvin, so dass neben Photonen auch massebehaftete Teilchen wie Elektronen und Positronen emittiert werden. Dadurch steigt die Strahlung weiter an, sodass so ein kleines Schwarzes Loch in relativ kurzer Zeit völlig zerstrahlt (verdampft). Sinkt die Masse unter 1000 Tonnen, so explodiert das Schwarze Loch mit der Energie mehrerer Millionen Mega-, bzw. Teratonnen TNT-Äquivalent. Die Lebensdauer eines Schwarzen Loches ist proportional zur dritten Potenz seiner ursprünglichen Masse und beträgt bei einem Schwarzen Loch mit der Masse unserer Sonne ungefähr 1064 Jahre. Sie liegt damit jenseits sämtlicher Beobachtungsgrenzen.

Hawking-Temperatur[Bearbeiten]

Hawking fand eine Formel für die Entropie S und Strahlungstemperatur T eines Schwarzen Lochs, die auch als Hawking-Temperatur TH bezeichnet wird und gegeben ist durch:

T_\mathrm{H} = \frac{\hbar\ c^3}{8\pi\,G\,M k_\mathrm{B}}

wobei ħ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit, G die Gravitationskonstante, M die Masse des Schwarzen Lochs und kB die Boltzmannkonstante ist. Häufig wird die Temperatur und Entropie in der Gravitationsphysik auch so angegeben, dass die Boltzmannkonstante weggelassen wird.

Die Ableitung der Formel für die Temperatur erfolgte in der ursprünglichen Arbeit von Hawking in Semiklassischer Näherung. Da ein Teil der erzeugten Strahlung durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut wird, sind Schwarze Löcher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass „gewöhnliche“ Quantenmechanik in der Hintergrund-Raumzeit (im Fall des Schwarzen Lochs die Schwarzschild-Metrik oder deren Verallgemeinerungen) betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Aus der von Hawking gefundenen Formel für die Temperatur ergab sich über d E = T d S (mit  E = M c^2) eine Formel für die Entropie, die bis auf Vorfaktoren mit der von Bekenstein mit heuristischen Argumenten abgeleiteten Formel übereinstimmmte.

Abschätzungen[Bearbeiten]

Von der Größenordnung her lässt sich die Hawking-Temperatur folgendermaßen herleiten[4]: Das Wiensche Verschiebungsgesetz ergibt ein Maximum der Schwarzkörperstrahlung bei Wellenlängen \lambda \approx \frac {\hbar c}{k_B T}. Bei Schwarzen Löchern kommt als Längeneinheit nur der Schwarzschildradius r_\mathrm{S} = \frac{2 G M}{c^2} in Betracht, so dass \lambda \approx \frac{c^2}{G M} und sich die Temperatur (in Grad Kelvin) ergibt:

T \approx \frac {\hbar c^3}{k_B G M} \approx 10^{-6} \frac {M_{\odot}}{M}

mit der Sonnenmasse M_{\odot}.

Auf ähnliche Weise lässt sich die Strahlungsleistung nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abschätzen:

P \approx c \frac {{(k_B T)}^4}{{{(\hbar c)}}^3} A \approx c  \frac {\hbar c}{{r_S}^4} {r_S}^2 \approx \frac {\hbar c^6}{G^2 M^2}

mit der Fläche A \approx 4 \pi {r_S}^2, dem Schwarzschildradius  r_S \approx \frac {G M}{c^2} und der oben abgeschätzten Temperatur k_B T \approx \frac{\hbar c}{r_S}. In MKS-Einheiten ergibt sich:  P \approx 10^{38} M^{-2} Watt

Die Lebensdauer \tau ergibt sich der Größenordnung nach aus  P \tau \approx M c^2 zu:

\tau \approx \frac {G^2 M^3}{\hbar c^4}

Oder bei Angabe mit MKS-Einheiten:

\tau \approx 10^{-20} M^3 Sekunden

oder  \tau \approx 10^{64} \cdot \left(\frac {M}{M_{\odot}} \right)^3 Jahre

Schlussfolgerungen und Ausblick[Bearbeiten]

Die Vorhersage der Hawking-Strahlung beruht auf der Kombination von Effekten der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie sowie der Thermodynamik. Da eine Vereinheitlichung dieser Theorien bisher nicht gelungen ist (Quantentheorie der Gravitation), sind solche Vorhersagen immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet.

Mit der thermischen Strahlung verliert das Schwarze Loch Energie und damit Masse. Es „schrumpft“ also mit der Zeit. Schwarze Löcher stellaren Ursprungs haben jedoch aufgrund ihrer großen Masse eine geringere Temperatur als die kosmische Hintergrundstrahlung, weshalb diese Schwarzen Löcher thermische Energie aus ihrer Umgebung aufnehmen. In diesem Fall ist also kein Schrumpfen des Schwarzen Loches möglich, denn durch die Aufnahme an Strahlungsenergie nimmt die Masse dabei gemäß der einsteinschen Masse-Energie-Äquivalenzformel zu. Erst wenn die Umgebungstemperatur unter die Temperatur des Schwarzen Loches gefallen ist, verliert das Loch durch Strahlungsemission an Masse.

Was am „Ende seiner Lebenszeit“ mit einem Schwarzen Loch geschieht, ist noch unklar. Insbesondere tritt dabei das so genannte Informationsparadoxon auf. Es besteht in der Frage, was beim „Verdampfen“ des Schwarzen Loches mit der ursprünglichen Information geschieht, die bei dessen Entstehung in das Schwarze Loch hineingestürzt ist und gemäß bestimmter Forderungen aus der Quantenmechanik nicht verloren sein kann.

Literatur[Bearbeiten]

  • Robert Brout, S. Massar, R. Parentani, P. Spindel: A Primer for black hole quantum physics, Physics Reports, Band 260, 1995, S. 329.
  • Stephen W. Hawking, Particle creation by black holes, Commun. Math. Phys., Band 43, 1975, S. 199–220
  • Don N. Page: Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole. In: Physical Review D. 13, Nr. 2, 1976, S. 198–206. Bibcode: 1976PhRvD..13..198P. doi:10.1103/PhysRevD.13.198. → Erste detaillierte Studie der Vorgänge bei der Verdampfung Schwarzer Löcher
  • Matt Visser: Essential and inessential features of Hawking radiation. Januar 2001.

Weblinks[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Stephen W. Hawking, Particle creation by black holes, Commun. Math. Phys. 43 (1975), 199–220 (PDF; 1,8 MB)
  2. Stephen Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit, S. 141 f., Rowohlt Taschenbuch Verlag, 2005, 25. Auflage, ISBN 3-499-60555-4
  3. Stephen Hawking, The Quantum Mechanics of Black Holes, Scientific American, Januar 1977
  4. Roman Sexl, Hannelore Sexl: Weiße Zwerge – Schwarze Löcher, Vieweg 1979, S. 83