Hecke-Operator

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In der Mathematik versteht man unter Hecke-Operatoren bestimmte lineare Operatoren auf dem Vektorraum der ganzen Modulformen. Eingeführt wurden diese Operatoren von Erich Hecke. Ihre Bedeutung erhalten sie dadurch, dass bestimmte Modulformen simultane Eigenfunktionen zu allen Hecke-Operatoren sind und sich dadurch Schlüsse auf die Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten dieser Funktionen ziehen lassen. Diese Modulformen werden auch Eigenformen genannt.

Definition[Bearbeiten]

Es sei M_k der Vektorraum der ganzen Modulformen zum Gewicht k.

Ein Hecke-Operator ist eine lineare Abbildung T_n: M_k \rightarrow M_k, n \in \mathbb{N},


(T_nf)(\tau) = n^{k-1}\sum_{d|n}d^{-k} \sum_{b=0}^{d-1} f\left(\frac{n\tau+bd}{d^2}\right).

Für Primzahlen p reduziert sich dies auf


(T_pf)(\tau) = p^{k-1}f(p\tau)+\frac{1}{p}\sum_{b=0}^{p-1}f\left(\frac{\tau+b}{p}\right).

Eigenschaften und Anwendungen[Bearbeiten]

Die Hecke-Operatoren bilden M_k in sich ab, d.h. T_n f ist wieder eine ganze Modulform zum Gewicht k, insbesondere bilden sie Spitzenformen, d.h. Modulformen mit einer Nullstelle bei \tau = \infty, wieder auf Spitzenformen ab.

Hat f \in M_k eine Fourier-Entwicklung f(\tau) = \sum\limits_{m=0}^\infty \alpha_f(m)e^{2 \pi i m\tau},

so hat T_nf eine Fourier-Entwicklung

(T_nf)(\tau) = \sum\limits_{m=0}^\infty \gamma_n(m)e^{2 \pi i m\tau} mit


 \gamma_n(m) =  \sum\limits_{d|(n,m)} d^{k-1}\alpha_f\left(\frac{mn}{d^2}\right).

Man nennt die Funktion f eine simultane Eigenform, wenn f Eigenform zu allen Hecke-Operatoren ist, in diesem Fall sind die Eigenwerte

\lambda_f(n) = \left.\frac{\alpha_f(n)}{\alpha_f(1)}\right..

Der Vektorraum der Spitzenformen besitzt sogar eine Basis aus simultanen Eigenfunktionen zum Operator T_n, damit ergibt sich beispielsweise für die Diskriminante \Delta, die bis auf einen konstanten Faktor einzige Spitzenform vom Gewicht 12:

T_n\Delta = \tau(n)\cdot \Delta für alle n \in \mathbb{N}

und für ihre Fourier-Koeffizienten \tau(n), die Ramanujansche Tau-Funktion, gilt:

\tau(m)\tau(n) = \sum\limits_{d|(m,n)}d^{11}\tau\left(\frac{mn}{d^2}\right).

Speziell für teilerfremde m,n ist also \tau(m)\tau(n) = \tau(mn), d.h. die zahlentheoretische Funktion \tau(n) ist multiplikativ.

Die einzigen Nicht-Spitzenformen, die simultane Eigenformen zu allen Hecke-Operatoren sind, sind die normalisierten Eisensteinreihen

f(\tau) = \left.\frac{(2k-1)!}{2(2\pi i)^{2k}}G_{2k}(\tau)\right..

Für die Fourier-Koeffizienten der Eisensteinreihen ergibt sich:

\sigma_{2k-1}(n)\sigma_{2k-1}(m) = \sum\limits_{d|(m,n)}d^{2k-1}\sigma_{2k-1}\left(\frac{mn}{d^2}\right)

und für teilerfremde m,n reduziert sich dies wieder auf \sigma_{2k-1}(n)\sigma_{2k-1}(m) = \sigma_{2k-1}(mn), d.h. auch die zahlentheoretische Funktion \sigma_{2k-1} ist multiplikativ.

Literatur[Bearbeiten]

  • T.M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN 3-540-97127-0
  • M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3