Helmholtz-Spule

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Helmholtz-Spulen

Als Helmholtz-Spule bezeichnet man eine besondere Spulenanordnung, die auf den deutschen Physiker Hermann von Helmholtz (1821–1894) zurückgeht: Zwei kurze Spulen mit großem Radius R werden im Abstand R auf gleicher Achse parallel aufgestellt und gleichsinnig von Strom durchflossen (bei gegensinnigem Stromfluss siehe Maxwellspule).

Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen. Durch die Überlagerung beider Felder ergibt sich zwischen beiden Spulen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld, das für Experimente frei zugänglich ist.

Es gibt Helmholtzspulen in verschiedenen Bauformen: zylindrisch, quadratisch, aber auch als 3 orthogonal aufgestellte Paare (dreidimensional). Mit der dreidimensionalen Anordnung kann man durch Variation des Stromverhältnisses zwischen den Spulenpaaren ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

Anwendungen der Helmholtzspule[Bearbeiten]

Helmholtz-Spule für bis zu 64 kA/m (ca. 80 mT in Luft)

Vorteile[Bearbeiten]

Die erzeugte magnetische Feldstärke ist – wie bei jeder Luftspule – nicht nur linear vom Spulenstrom abhängig, sondern weniger ortsabhängig als in einer einzelnen schmalen Spule. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtzspule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern, wie etwa Fluxgate-Magnetometern, einsetzbar.

Berechnung der magnetischen Flussdichte[Bearbeiten]

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems im Zentrum der Spule liegt, ergibt sich mit dem Biot-Savart-Gesetz für die magnetische Flussdichte im Vakuum entlang der Symmetrieachse für den Spezialfall von nur einer Windung (N=1):

\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2}\cdot\frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\,\vec{e}_x
Feldverlauf einer einzelnen kurzen Spule

Die Flussdichte im Zentrum des Helmholtz-Spulenpaars ist die Überlagerung zweier Kreisströme im Abstand  \pm R/2:

B\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}
\begin{align}
B\left(\frac{R}{2}\right) + B\left(\frac{-R}{2}\right) &=

\frac12 \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\frac32}}
\\&\quad +
\frac12 \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{-R}{2}\right)^2\right)^{\frac32}}
\\&=2\cdot B\left(\frac{R}{2}\right)
\;=\; \mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\frac{R^2}{4}\right)^{\frac32}}
\\&= \mu_0\cdot\frac{8\cdot I}{\sqrt{125}\cdot R}
\end{align}

wobei μ0 die magnetische Feldkonstante ist, I die Spulenstromstärke und R der Spulenradius.

Es lässt sich auch die allgemeine die Flussdichte \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})=B_x\boldsymbol{e}_x+B_y\boldsymbol{e}_y+B_z\boldsymbol{e}_z von Helmholtzspulen bestimmen.[1] Die Helmholtzspulen bestehen aus zwei Leiterschleifen (Strömfäden) mit den Windungszahlen N1 und N2, durch die jeweils ein Strom I1 bzw. I2 fließt. Es existiert also eine Stromdichte \boldsymbol{J}_{1/2}(\boldsymbol{r}) (in den Zylinderkoordinaten x,\varrho,\varphi) von:

\boldsymbol{J}_{1/2}(\boldsymbol{r}) = N_{1/2} I_{1/2} \delta\left(\varrho - R\right)\delta\left(x \pm \frac{R}{2}\right)\boldsymbol{e}_\varphi

hierbei befindet sich das Zentrum der jeweiligen Spule bei  + R/2 bzw.  - R/2 auf der x-Achse.

Mit dem Biot-Savart-Gesetz lässt sich das Vektorpotential der Spule berechnen:

\boldsymbol{A}_{1/2}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathrm{d}^3r' \frac{\boldsymbol{J}_{1/2}(\boldsymbol{r}')}{\left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'\right|}

Dabei ist \boldsymbol{r'}=(x',\varrho'\cos\varphi',\varrho'\sin\varphi') der Integrations- und \boldsymbol{r}=(x,\varrho\cos\varphi,\varrho\sin\varphi) der Aufpunkt, also der Punkt, an dem das Vektorfeld bestimmt wird. Für das Vektorpotential ergibt sich also unter Ausführung der trivialen Integrationen:


\begin{align}
\boldsymbol{A}_{1/2}(\boldsymbol{r})=& \frac{\mu_0}{4\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(0,-\sin\varphi',\cos\varphi')}{\sqrt{\left(R\cos\varphi'-\rho\cos\varphi\right)^2+\left(R\sin\varphi'-\rho\sin\varphi\right)^2 +\left(x \pm \frac{R}{2} \right)^2}}\\
=& \frac{\mu_0}{4\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(0,-\sin\varphi',\cos\varphi')}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 + \rho^2 - 2 R \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right) \pm x R +x^2}}
\end{align}

Mit \boldsymbol{B}=\mathbf{\operatorname{rot}} \boldsymbol{A} kann die magnetische Flussdichte berechnet werden. Hierfür wird das Vektorpotential in die Komponenten der Zylinderszmmetrie zerlegt:

 \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = A_x(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{e}_x +  A_{\varphi}(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{e}_{\varphi} + A_{\rho}(\boldsymbol{r}) \boldsymbol{e}_{\rho} ,

sodass für die Einzelkomponenten gilt


\begin{align}
A_{x,1/2} &= 0 \\
A_{\varphi,1/2} &= \frac{\mu_0}{4\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{\cos\left( \varphi - \varphi'\right)}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 + \rho^2 - 2 R \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right) \pm x R +x^2}} \\
A_{\rho,1/2} &= \frac{\mu_0}{4\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{\sin\left( \varphi - \varphi'\right)}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 + \rho^2 - 2 R \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right) \pm x R +x^2}}
\end{align}

Mit dem Rotationsoperator in Zylinderkoordinaten


\begin{align}
\mathbf{\operatorname{rot}} \boldsymbol{A}  &=
\frac{1}{\rho}

\begin{vmatrix}
\boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_\rho & \boldsymbol{e}_\varphi \\
\partial_x & \partial_\rho & \partial_\varphi \\
A_x & A_{\rho} & \rho A_{\varphi}
\end{vmatrix}

\end{align}

lässt sich nun die Flussdichte  \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{r})+\boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{r}) berechnen:


\begin{align}
B_{x,1/2} &= \frac{\mu_0}{4\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{R - \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right)}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 + \rho^2 - 2 R \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right) \pm x R +x^2}^3} \\
B_{\rho,1/2} &= \frac{\mu_0}{8\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(2x \pm R) \cos\left( \varphi - \varphi'\right)}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 + \rho^2 - 2 R \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right) \pm x R +x^2}^3} \\
B_{\varphi,1/2} &= -\frac{\mu_0}{8\pi} I_{1/2}  N_{1/2} R \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(2x \pm R) \sin\left( \varphi - \varphi'\right)}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2 + \rho^2 - 2 R \rho \cos\left( \varphi - \varphi'\right) \pm x R +x^2}^3}
\end{align}

Entsprechend ergeben sich die kartesischen Komponenten zu


\begin{align}
B_{x,1/2} &= B_{x,1/2} \\
B_{y,1/2} &= B_{\rho,1/2} \cos \varphi - B_{\varphi,1/2} \sin \varphi \\
B_{z,1/2} &= B_{\rho,1/2} \sin \varphi + B_{\varphi,1/2} \cos \varphi \\
\end{align}

Die so gefundenen analytischen Ausdrücke lassen sich nur in bestimmten Fällen weiter vereinfachen, da die enthaltenen elliptischen Integrale nur numerisch berechnet werden können.

Für den Fall dass nur die Spulenachse betrachtet wird (\rho=0) ergibt sich B_y= B_z =0 und


\begin{align}
B_x(x)=\frac{\mu_0}{2}I_1 N_1\frac{R^2}{\sqrt{x^2 -Rx+\frac{5}{4}R^2}^3} + \frac{\mu_0}{2}I_2 N_2 \frac{R^2}{\sqrt{x^2 +Rx+\frac{5}{4}R^2}^3}
\end{align}

Im Spulenursprung (x=y=z=\rho=0) gilt entsprechend B_y= B_z =0 und


\begin{align}
B=B_x=\frac{\mu_0}{2} \frac{8(I_1 N_1+ I_2 N_2)}{\sqrt{125}R}
\end{align}

Helmholtzspulenpaar mit je N Windungen[Bearbeiten]

Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der Mitte zwischen den Spulen. Der Strom wirkt N-fach im Vergleich zu Spulen mit je einer Windung.

\begin{align} 

B(0) &= \mu_0\cdot \frac{8\cdot I\cdot N}{\sqrt{125}\cdot R} \\
 &= 4\cdot\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm V\cdot \mathrm s}{\mathrm A\cdot\mathrm m}\cdot 0{,}716\cdot\frac{I\cdot N}{R}
\end{align}

Beispiel: I = 1,7 A; N = 130; R = 0,15 m

B(0)=4\cdot\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm V\cdot \mathrm s}{\mathrm A\cdot\mathrm m}\cdot 0{,}716\cdot\frac{1{,}7\,\mathrm A\cdot 130}{0,15\,\mathrm m}= 1{,}33\cdot10^{-3}\;\mathrm T

Feldverläufe bei verschiedenen Spulenabständen[Bearbeiten]

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwindet in der Mitte die erste und die zweite Ableitung der Feldfunktion, nach den Seiten fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Das ist in der untenstehenden Bildergalerie ersichtlich.

Größere Abstände ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen und die gemessenen Werte ergeben eine gute Übereinstimmung mit den gerechneten Werten. Mit Eisenfeilspänen kann im Experiment die gute Homogenität des Magnetfeldes in der Nähe der Spulenachse gezeigt werden.

Maxwellspule[Bearbeiten]

Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so wird bei geeignet gewählter Geometrie im Inneren ein konstanter Feldgradient erzeugt. Ist der Abstand a der Spulen zueinander  \sqrt{3} \, R , dann verschwindet bei x=0 die zweite und die dritte Ableitung, die Feldfunktion ist dort also eine Gerade. Man nennt die Spulenanordnung dann Maxwell-Spule, manchmal auch Anti-Helmholtz-Spule.

Die Berechnung des Feldverlaufes entlang der Symmetrieachse (x-Achse) geschieht auf ganz analoger Weise wie im Fall gleicher Richtung der Kreisströme. Man erhält für Spulenpaare mit gleicher Windungszahl N:

B\left(x\right)=\frac{\mu_0 \cdot N\cdot I\cdot R^2}{2}\left(\frac{1}{\left(R^2+\left(x+\frac{a}{2}\right)^2\right)^{\frac32}}-\frac{1}{\left(R^2+\left(x-\frac{a}{2}\right)^2\right)^{\frac32}}\right)


Für den Feldgradienten im Zentrum gilt dann:

{\frac{dB}{dx}} \, = \, \sqrt{\frac{6912}{16807}} \, \cdot \, \frac{\mu_0 \cdot N\cdot I}{R^2} \, \approx \, 0,6413 \, \cdot \, \frac{\mu_0 \cdot N\cdot I}{R^2} \, .

Bildgalerie[Bearbeiten]

Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtzspulen dargestellt:

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Helmholtz coils – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 9. Auflage. Springer Lehrbuch, 2011, ISBN 978-3-642-13448-7 (Aufgabe 3.2.3).