Helmholtz-Spule

Helmholtz-Spulen

Als Helmholtz-Spule bezeichnet man eine besondere Spulenanordnung, die auf den deutschen Physiker Hermann von Helmholtz (1821–1894) zurückgeht: Zwei kurze Spulen mit großem Radius R werden im Abstand R auf gleicher Achse parallel aufgestellt und gleichsinnig von Strom durchflossen (bei gegensinnigem Stromfluss siehe Maxwellspule).

Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen. Durch die Überlagerung beider Felder ergibt sich zwischen beiden Spulen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld, das für Experimente frei zugänglich ist.

Es gibt Helmholtzspulen in verschiedenen Bauformen: zylindrisch, quadratisch, aber auch als 3 orthogonal aufgestellte Paare (dreidimensional). Mit der dreidimensionalen Anordnung kann man durch Variation des Stromverhältnisses zwischen den Spulenpaaren ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

Anwendungen der Helmholtzspule

Helmholtz-Spule für bis zu 64 kA/m (ca. 80 mT in Luft)

• Bestimmung der spez. Elektronenladung nach Helmholtz mit Fadenstrahlrohr
• Qualitätskontrolle von Dauermagneten
• Hall-Effektuntersuchungen
• Herstellung feldfreier Räume durch gezielte Abschirmung des Erdmagnetfelds
• Kalibrierung von Magnetfeldsonden und Magnetometern
• HF-Spule bei der Magnetresonanztomographie
• Gradientenspule (als Maxwellspule) in Magnetresonanztomographie
• Magnetfeldtherapie

Vorteile

Die erzeugte magnetische Feldstärke ist – wie bei jeder Luftspule – nicht nur linear vom Spulenstrom abhängig, sondern weniger ortsabhängig als in einer einzelnen schmalen Spule. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtzspule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern, wie etwa Fluxgate-Magnetometern, einsetzbar.

Berechnung der magnetischen Flussdichte

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems im Zentrum der Spule liegt, ergibt sich mit dem Biot-Savart-Gesetz für die magnetische Flussdichte im Vakuum entlang der Symmetrieachse für den Spezialfall von nur einer Windung (N=1):

$\vec{B}(x)=\frac{\mu_0 I}{2}\cdot\frac{R^2}{\left(R^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\,\vec{e}_x$

Feldverlauf einer einzelnen kurzen Spule

Die Flussdichte im Zentrum des Helmholtz-Spulenpaars ist die Überlagerung zweier Kreisströme im Abstand $\pm R/2$:

$B\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}$

$\begin{align} B\left(\frac{R}{2}\right) + B\left(\frac{-R}{2}\right) &= \frac12 \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2\right)^{\frac32}} \\&\quad + \frac12 \cdot\mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\left(\frac{-R}{2}\right)^2\right)^{\frac32}} \\&=2\cdot B\left(\frac{R}{2}\right) \;=\; \mu_0\cdot\frac{I\cdot R^2}{\left(R^2+\frac{R^2}{4}\right)^{\frac32}} \\&= \mu_0\cdot\frac{8\cdot I}{\sqrt{125}\cdot R} \end{align}$

wobei μ₀ die magnetische Leitfähigkeit des leeren Raumes ist, I die Spulenstromstärke und R der Spulenradius.

Es lässt sich auch die allgemeine Feldstärke der Flussdichte $B(\boldsymbol{r})=\sqrt{B_x(\boldsymbol{r})^2+B_y(\boldsymbol{r})^2+B_z(\boldsymbol{r})^2}$ der Helmholtzspulen bestimmen. Die Helmholtzspulen bestehen aus zwei Leiterschleifen (Strömfäden) mit den Windungszahlen N₁ und N₂. Es existiert also eine Stromdichte $\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r})$ (in den Zylinderkoordinaten $x,\varrho,\varphi$) von

$\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}) = N_1 I \delta\left(\varrho-R\right)\delta\left(x - \frac{R}{2}\right)\boldsymbol{e}_\varphi + N_2 I \delta\left(\varrho-R\right)\delta\left(x + \frac{R}{2}\right)\boldsymbol{e}_\varphi$

Mit dem Biot-Savart-Gesetz lässt sich das Vektorpotential

$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathrm{d}^3r' \frac{\boldsymbol{J}(\vec{r}')}{\left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'\right|}$

des Feldes bestimmen. Dabei ist $\boldsymbol{r'}=(x',\varrho'\cos\varphi',\varrho'\sin\varphi')$ der Integrationspunkt. Auf Grund der Rotationssymmetrie des Spulenpaars bzgl. der x-Achse, kann für den Ortsvektor $\boldsymbol{r}=(x,\varrho\cos\varphi,\varrho\sin\varphi)$, $\varphi=0$ gewählt werden. Damit ergibt sich der Ortsvektor in kartesischen Koordinaten mit $\varrho=y$ zu $\boldsymbol{r}=(x,y,0)$. Für das Vektorpotential gilt in diesem Fall

$\begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=& \frac{\mu_0}{4\pi} I R N_1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(0,-\sin\varphi',\cos\varphi')}{\sqrt{\left(R\cos\varphi'-y\right)^2+R^2\sin^2\varphi' +\left(x- \frac{R}{2} \right)^2}} + \frac{\mu_0}{4\pi} I R N_2 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(0,-\sin\varphi',\cos\varphi')}{\sqrt{\left(R\cos\varphi'-y\right)^2+R^2\sin^2\varphi' +\left(x+ \frac{R}{2} \right)^2}}\\ =&\frac{\mu_0}{4\pi} I R N_1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(0,-\sin\varphi',\cos\varphi')}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 -Rx}} + \frac{\mu_0}{4\pi} I R N_2 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(0,-\sin\varphi',\cos\varphi')}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 +Rx}} \end{align}$

Mit $\boldsymbol{B}=\mathbf{\operatorname{rot}} \boldsymbol{A}$ ergeben sich die Komponenten der magnetischen Flussdichte

$\begin{align} B_x=& \frac{\mu_0}{4\pi} I R N_1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(y-R\cos\varphi')\cos\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 -Rx}^3}+\frac{\mu_0}{4\pi} I R N_2 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(y-R\cos\varphi')\cos\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 +Rx}^3}\\ B_y=& \frac{\mu_0}{8\pi} I R N_1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(2x-R)\cos\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 -Rx}^3}+\frac{\mu_0}{8\pi} I R N_2 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(2x+R)\cos\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 +Rx}^3}\\ B_z=& \frac{\mu_0}{8\pi} I R N_1 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(2x-R)\sin\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 -Rx}^3}+\frac{\mu_0}{8\pi} I R N_2 \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(2x+R)\sin\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi' +x^2 +Rx}^3} \end{align}$

Für den Fall dass nur die Spulenachse betrachtet wird ($y=0$) ergibt sich $B_y= B_z =0$ und

$\begin{align} B=B_x=-\frac{\mu_0}{2}I N_1\frac{R^2}{\sqrt{x^2 -Rx+\frac{5}{4}R^2}^3} - \frac{\mu_0}{2}I N_2 \frac{R^2}{\sqrt{x^2 +Rx+\frac{5}{4}R^2}^3} \end{align}$

Für den Fall, dass der radiale Feldstärkeverlauf der Flussdichte vom Spulenursprung betrachtet wird ($x=0$) ergibt sich $B_y= B_z =0$ und

$\begin{align} B=B_x=\frac{\mu_0}{4\pi} IR(N_1+N_2) \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi' \frac{(y-R\cos\varphi')\cos\varphi'}{\sqrt{\frac{5}{4}R^2+y^2 -2Ry\cos\varphi'}^3} \end{align}$

Dieser Term lässt sich nicht weiter vereinfachen, da das Integral analytisch nicht lösbar ist.

Im Spulenursprung ($x=y=z=0$) gilt $B_y= B_z =0$ und

$\begin{align} B=B_x=\frac{\mu_0}{2} \frac{8I(N_1+N_2)}{\sqrt{125}R} \end{align}$

Helmholtzspulenpaar mit je N Windungen

Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der Mitte zwischen den Spulen. Der Strom in der Spule ist N mal der Strom einer Spule mit einer Windung.

$\begin{align} B(0) &= \mu_0\cdot \frac{8\cdot I\cdot N}{\sqrt{125}\cdot R} \\ &= 4\cdot\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm V\cdot \mathrm s}{\mathrm A\cdot\mathrm m}\cdot 0{,}716\cdot\frac{I\cdot N}{R} \end{align}$

Beispiel: I = 1,7 A; N = 130; R = 0,15 m

$B(0)=4\cdot\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm V\cdot \mathrm s}{\mathrm A\cdot\mathrm m}\cdot 0{,}716\cdot\frac{1{,}7\,\mathrm A\cdot 130}{0,15\,\mathrm m}= 1{,}33\cdot10^{-3}\;\mathrm T$

Feldverläufe bei verschiedenen Spulenabständen

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwindet in der Mitte die erste und die zweite Ableitung der Feldfunktion, nach den Seiten fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Das ist in der untenstehenden Bildergalerie ersichtlich.

Größere Abstände ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen und die gemessenen Werte ergeben eine gute Übereinstimmung mit den gerechneten Werten. Mit Eisenfeilspänen kann im Experiment die gute Homogenität des Magnetfeldes in der Nähe der Spulenachse gezeigt werden.

Maxwellspule

Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so wird bei geeignet gewählter Geometrie im Inneren ein konstanter Feldgradient erzeugt. Ist der Abstand a der Spulen zueinander $\sqrt{3} \, R$, dann verschwindet bei x=0 die zweite und die dritte Ableitung, die Feldfunktion ist dort also eine Gerade. Man nennt die Spulenanordnung dann Maxwell-Spule, manchmal auch Anti-Helmholtz-Spule.

Die Berechnung des Feldverlaufes entlang der Symmetrieachse (x-Achse) geschieht auf ganz analoger Weise wie im Fall gleicher Richtung der Kreisströme. Man erhält für Spulenpaare mit gleicher Windungszahl N:

$B\left(x\right)=\frac{\mu_0 \cdot N\cdot I\cdot R^2}{2}\left(\frac{1}{\left(R^2+\left(x+\frac{a}{2}\right)^2\right)^{\frac32}}-\frac{1}{\left(R^2+\left(x-\frac{a}{2}\right)^2\right)^{\frac32}}\right)$

Bildgalerie

Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtzspulen dargestellt:

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  Feldlinien

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  Feldverlauf in Richtung der Spulenachse (gemessen)

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  Feldverlauf quer zur Richtung der Spulenachse (gemessen)

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  Magnetfeld der Helmholtzspule mit Eisenfeilspänen sichtbar gemacht

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  Berechnetes Magnetfeld der Helmholtzspule

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  Magnetische Flussdichte entlang der Achse durch das Zentrum der Spulen; z=0 ist der Punkt in der Mitte zwischen den Spulen.

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  Betrag der Magnetischen Flussdichte als Funktion des Ortes. Die Schnittebene geht durch das Zentrum.

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  Maxwellspule: Feldstärkeverlauf bei optimiertem Spulenabstand von $a = \sqrt{3} \, R$ und Einzelfelder in willkürlichen Einheiten.

Weblinks

• Berechnung des Magnetfeldes einer Stromschleife
• http://www.schulen.eduhi.at/riedgym/physik/physlet/krahmer/applets/magnet1.html