Henkelkörper

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In der Mathematik sind Henkelkörper 3-dimensionale Gebilde, deren Ränder Flächen sind.

Definition[Bearbeiten]

Eine Vollkugel mit 3 disjunkten Henkeln.

Den Henkelkörper vom Geschlecht g erhält man, indem man an eine 3-dimensionale Vollkugel g disjunkte Henkel ansetzt.

In Formeln: Sei B^3 eine Vollkugel, seien f_1,\ldots,f_g:B^2\times\left\{0,1\right\}\rightarrow \partial B^3 injektive stetige Abbildungen mit disjunkten Bildern, dann definieren wir den Henkelkörper H_g als Quotienten von

H_g:=(B^3\bigcup\cup_{i=1}^g (B^2\times \left[0,1\right])_i)/\sim

unter der Äquivalenzrelation x\sim f_i(x) für x\in (B^2\times\left\{0,1\right\})_i, i=1,\ldots,g.

H_g ist eine orientierbare 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, ihr Rand ist eine Fläche vom Geschlecht g. Die Vollkugel wird als Henkelkörper vom Geschlecht g=0 bezeichnet.

Kompressionskörper[Bearbeiten]

Ein allgemeinerer Begriff, der vor allem in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand Anwendung findet, ist der Begriff des Kompressionskörpers.

Ein Kompressionskörper C entsteht aus einem Produkt S\times\left[0,1\right], für eine geschlossene Fläche S, durch Ankleben von 2-Henkeln entlang S\times\left\{1\right\}. Man bezeichnet \partial_-C:=S\times\left\{0\right\} und \partial_+C:=\partial C\setminus \partial_-C.

Henkelkörper erhält man für S=\emptyset, in diesem Fall ist \partial_-C=\emptyset.

Literatur[Bearbeiten]

  • Bonahon: Geometric structures on 3-manifolds. Handbook of geometric topology, 93–164, North-Holland, Amsterdam, 2002.
  • Bonahon: Cobordism of automorphisms of surfaces. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16 (1983), no. 2, 237–270. pdf
  • Lackenby, Purcell: Geodesics and compression bodies pdf
  • Oertel: Automorphisms of three-dimensional handlebodies. Topology 41 (2002), no. 2, 363–410. pdf