Henselsches Lemma

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Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.[1]

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei K ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring A und Restklassenkörper k. Ist nun f\in A[X] ein Polynom, dessen Reduktion \bar f\in k[X] das Produkt zweier teilerfremder Polynome \bar g,\bar h\in k[X] ist, so gibt es Polynome g,h\in A[X], so dass f=gh gilt und \bar g bzw. \bar h die Reduktion von g bzw. h ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Für eine Primzahl p sei K=\Q_p der Körper der p-adischen Zahlen, A=\Z_p und k=\mathbb F_p. Das Polynom f(X):=X^{p-1}-1 zerfällt über k in Linearfaktoren
\bar f(X)=X^{p-1}-\bar1=(X-\bar1)(X-\bar2)\cdots(X-\overline{p-1}).
Es gibt also Polynome g_1,\ldots,g_{p-1}\in\Z_p[X], so dass
f=g_1\cdots g_{p-1},\qquad g_i(X)\equiv X-i\mod p
gilt. Die Polynome g_i haben notwendigerweise die Form g(X)=aX+b mit a\in 1+p\mathbb Z_p, man kann also a=1 annehmen, d. h. es gibt \zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1}\in\Z_p, so dass
X^{p-1}-1=(X-\zeta_1)\cdots(X-\zeta_{p-1})
gilt. Die \zeta_1,\ldots,\zeta_{p-1} sind die (p-1)-ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass \zeta_i \equiv i \mod p.
  • Ist die Primzahl p \equiv 1 \mod 4, dann gibt es nach dem Obigen ein \eta \in \Q_p mit \eta^2 = -1.
Denn unter den (p-1)-ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit \zeta bezeichnet, die die zyklische Gruppe der (p-1)-ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit \eta := \zeta^{\tfrac{p-1}4} ergibt sich \eta^2 = -1.
  • Im Körper \Q_p der p-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist –1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar.
Zwei Fälle sind zu unterscheiden:
  1. p>2: Nach dem Vier-Quadrate-Satz gibt es 4 Summanden n_1, n_2, n_3, n_4 \in \N mit n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2 = p. Nun ist n:=n_4^2-p ein quadratischer Rest n_4^2\mod p. Es gibt also ein \mu \in \mathbb F_p mit \mu^2 = \bar n oder (X-\mu)(X+\mu) = X^2-\bar n und teilerfremden (X-\mu),(X+\mu). Nach dem henselschen Lemma gibt es ein m \in \Z_p mit m^2 = n = n_4^2-p, so dass die Summe von 4 nicht verschwindenden Quadraten n_1^2+n_2^2+n_3^2+m^2 = 0 ist.
  2. p=2: Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über \mathbb F_2 das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass \sqrt{-7} \in\Q_2. Sei nämlich m_3 := 1 \in \Z mit m_3^2 \equiv -7 \; \mod 2^3. Für i=3,4,... sei nun m_i \in \Z derart, dass m_i^2 \equiv -7 \mod 2^i. Da m_i^2+7 durch 2 teilbar ist, können wir
        m_{i+1} :\equiv m_i-\tfrac{m_i^2+7}{2 m_i} \mod 2^{i+1}
    bilden. Dann ist
        m_{i+1}^2 \equiv m_i^2-(m_i^2+7) \equiv -7 \mod 2^{i+1}.
    Somit gibt es eine in \Q_2 konvergente Folge m := \lim_{i\to\infty} m_i mit m^2=-7. Die Summe von 5 Quadraten 1^2+1^2+1^2+2^2+m^2=7+m^2 verschwindet.
  • Es seien K,A,k wie oben, aber f(X)=X^p-1. Dann ist \bar f(X)=X^p-\bar1=(X-\bar1)^p mit Faktoren X-\bar1, die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring[Bearbeiten]

Hauptartikel: Henselscher Ring

Die Voraussetzung, dass K vollständig ist, ist eigentlich zu stark. Allgemein nennt man bewertete Körper K beziehungsweise Ringe A, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6
  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1322960, ISBN 978-0-387-94268-1; 978-0-387-94269-8 .
  •  Atilla Pethö, Michael Pohst (Hrsg.): Algebraische Algorithmen. Vieweg, 1999, ISBN 9783528065980, S. 187.
  •  Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3540213791, S. 51.
  •  K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. David A. Cox Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first, American Mathematical Monthly, Band 118, 2011, S. 3-21