Hessesche Normalform

Darstellung von Normale und Abstand der hesseschen Normalform

Die hessesche Normalform (Hesse-Normalenform), benannt nach Ludwig Otto Hesse, ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene (E) im euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ oder eine Gerade (g) im $\mathbb{R}^2$ beschreibt und hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet wird. In vektorieller Schreibweise lautet sie:

${\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}$

Ein Punkt P, der in einem gegebenen Koordinatensystem den Ortsvektor $\vec r$ hat, liegt genau dann in der Ebene E (auf der Geraden g), wenn diese Gleichung erfüllt ist.

Dabei steht $\vec n_0$ für den normierten Normalenvektor (Normaleneinheitsvektor) von E bzw. g, der vom Koordinatenursprung zur Ebene bzw. Geraden zeigt. $d \ge 0$ ist der Abstand der Ebene (der Geraden) vom Ursprung des Koordinatensystems. Das Multiplikationszeichen $\cdot$ drückt ein Skalarprodukt aus.

Herleitung/Berechnung aus der Normalgleichung

Vorbemerkung: Aus Gründen der Einfachheit ist im Folgenden jeweils von einer Ebene im Raum die Rede. Die Überlegungen lassen sich aber auf den Fall einer Geraden in der Ebene übertragen.

In der Normalgleichung

$({\vec r -\vec a)\cdot \vec n = 0}$

ist die Ebene durch einen Normalenvektor $\vec n$ sowie einen beliebigen Ortsvektor $\vec a$ eines Punktes $A \in E$ gegeben. Die Richtung von $\vec n$ sei so gewählt, dass

$\vec a\cdot \vec n \geq 0$ ist.

Indem man $\vec n$ durch seinen Betrag $| \vec n |$ dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}$

und es gilt

$(\vec r -\vec a)\cdot \vec n_0 = 0\,.$

Indem man

$d = \vec a\cdot \vec n_0 \geq 0$

berechnet, erhält man die hessesche Normalform

${\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}\,.$

Hierin ist $d \geq 0$ der Abstand der Ebene vom Ursprung: Da $\vec r \cdot \vec n_0 = d$ für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt Q (Fußpunkt des Lotes vom Ursprung auf die Ebene E) mit $\vec r = \vec r_s$. Dann ist nach Definition des Skalarproduktes

$d = \vec r_s \cdot \vec n_0 = |\vec r_s| \cdot |\vec n_0| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec r_s| \cdot 1 = |\vec r_s|\,.$

Der Betrag $|\vec r_s|$ von ${\vec r_s}$ ist aber der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Berechnung aus drei Punkten der Ebene

Aus drei Punkten der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, lässt sich in zwei Schritten die Hessesche Normalform berechnen.

1. Aus den Ortsvektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ der drei Punkte $A$, $B$ und $C$ wird der Normaleneinheitsvektor $\vec n_0$ berechnet.
2. Mit dem Normaleneinheitsvektor lässt sich der Abstand $d$ berechnen.

Berechnung des Normaleneinheitsvektors

Der Normaleneinheitsvektor lässt sich über ein Gleichungssystem oder mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnen.

Gleichungssystem

Die Forderung, dass $\vec n$ senkrecht auf der Ebene stehen soll, ergibt die Gleichungen:

$(\vec b - \vec a) \cdot \vec n = 0\,,$

$(\vec c - \vec a) \cdot \vec n = 0\,.$

Dieses Gleichungssystem wird erst dadurch eindeutig lösbar, dass man als zusätzliche Bedingung die Normierung

$|\vec n| = 1 ,$

also

$\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1\ \Rightarrow \ n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$

verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag (die euklidische Norm) $|\vec n|$ des Vektors $\vec n$ zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man $\vec n$ durch $|\vec n|$ dividiert.

Beispiel

$\vec a = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}; \quad \vec b = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}; \quad \vec c = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\,.$

$\vec b - \vec a = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec c - \vec a = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

Zu lösen ist folgendes Gleichungssystem:

$-n_1 - n_2 + n_3 = 0$

$-2 n_1 + n_2 = 0$

mit der zusätzlichen Bedingung

$\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1$

Lösung:

In dem Gleichungssystem mit drei Unbekannten in zwei Gleichungen ist eine Variable, etwa $n_1$ frei wählbar. Wählt man $n_1 = 1$, so liefert die zweite Gleichung $n_2 = 2$. Einsetzen in die erste Gleichung liefert dann $n_3 = 3$. Der so gefundene Normalenvektor

$\vec n = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

hat die Länge $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$. Indem man mit dem Kehrwert der Länge multipliziert, erhält man den Normaleneinheitsvektor:

$\vec n_0 = \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Kreuzprodukt

Ein anderer Weg zur Berechnung des Normaleneinheitsvektors führt über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis

$\vec n = (\vec b - \vec a) \times (\vec c - \vec a)\,,$

wobei man aber auch hier im Allgemeinen $\vec n$ noch normieren muss:

$\vec n_0 = \frac{1}{|\vec n|} \vec n\,.$

Berechnung des Abstands

Für den Abstand der Ebene zum Nullpunkt gilt $d = |\vec a \cdot \vec n_0|$.

Beispiel

$d = \vec a \cdot \vec n_0 = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{(-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3}{\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{14}}$

Hessesche Normalform:

$\vec r \cdot \frac 1 {\sqrt{14}} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \frac 4 {\sqrt{14}} = 0$

Anwendung zur Abstandsberechnung

Allgemein erhält man den Abstand |s| eines beliebigen Punktes P von der Ebene E, indem man den Ortsvektor $\vec p$ von P für $\vec r$ in die linke Seite der Hesse'schen Normalform einsetzt:

${ \vec p\cdot \vec n_0 - d}= s$

Ist $d > 0$ und $s < 0$, so liegt P in demselben Halbraum von E wie der Ursprung, bei positivem Vorzeichen von s hingegen im anderen Halbraum.

Verallgemeinerung

Die Hesse'sche Normalform kann man ganz allgemein zur Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen im n-dimensionalen Raum verwenden.

Siehe auch

• Geradengleichung
• Parameterdarstellung