Hessesche Normalform
Die hessesche Normalform (Hesse-Normalenform), benannt nach Ludwig Otto Hesse, ist in der analytischen Geometrie eine Gleichung, die eine Ebene (E) im euklidischen Raum
oder eine Gerade (g) im
beschreibt und hauptsächlich für Abstandsberechnungen verwendet wird. In vektorieller Schreibweise lautet sie:
Ein Punkt P, der in einem gegebenen Koordinatensystem den Ortsvektor
hat, liegt genau dann in der Ebene E (auf der Geraden g), wenn diese Gleichung erfüllt ist.
Dabei steht
für den normierten Normalenvektor (Normaleneinheitsvektor) von E bzw. g, der vom Koordinatenursprung zur Ebene bzw. Geraden zeigt.
ist der Abstand der Ebene (der Geraden) vom Ursprung des Koordinatensystems. Das Multiplikationszeichen
drückt ein Skalarprodukt aus.
Inhaltsverzeichnis |
Herleitung/Berechnung aus der Normalgleichung [Bearbeiten]
Vorbemerkung: Aus Gründen der Einfachheit ist im Folgenden jeweils von einer Ebene im Raum die Rede. Die Überlegungen lassen sich aber auf den Fall einer Geraden in der Ebene übertragen.
In der Normalgleichung
ist die Ebene durch einen Normalenvektor
sowie einen beliebigen Ortsvektor
eines Punktes
gegeben. Die Richtung von
sei so gewählt, dass
ist.
Indem man
durch seinen Betrag
dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor
und es gilt
Indem man
berechnet, erhält man die hessesche Normalform
Hierin ist
der Abstand der Ebene vom Ursprung: Da
für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt Q (Fußpunkt des Lotes vom Ursprung auf die Ebene E) mit
. Dann ist nach Definition des Skalarproduktes
Der Betrag
von
ist aber der Abstand der Ebene vom Ursprung.
Berechnung aus drei Punkten der Ebene [Bearbeiten]
Aus drei Punkten der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, lässt sich in zwei Schritten die Hessesche Normalform berechnen.
- Aus den Ortsvektoren
,
und
der drei Punkte
,
und
wird der Normaleneinheitsvektor
berechnet. - Mit dem Normaleneinheitsvektor lässt sich der Abstand
berechnen.
Berechnung des Normaleneinheitsvektors [Bearbeiten]
Der Normaleneinheitsvektor lässt sich über ein Gleichungssystem oder mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnen.
Gleichungssystem [Bearbeiten]
Die Forderung, dass
senkrecht auf der Ebene stehen soll, ergibt die Gleichungen:
Dieses Gleichungssystem wird erst dadurch eindeutig lösbar, dass man als zusätzliche Bedingung die Normierung
also
verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag (die euklidische Norm)
des Vektors
zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man
durch
dividiert.
Beispiel [Bearbeiten]
Zu lösen ist folgendes Gleichungssystem:
mit der zusätzlichen Bedingung
Lösung:
In dem Gleichungssystem mit drei Unbekannten in zwei Gleichungen ist eine Variable, etwa
frei wählbar. Wählt man
, so liefert die zweite Gleichung
. Einsetzen in die erste Gleichung liefert dann
. Der so gefundene Normalenvektor
hat die Länge
. Indem man mit dem Kehrwert der Länge multipliziert, erhält man den Normaleneinheitsvektor:
Kreuzprodukt [Bearbeiten]
Ein anderer Weg zur Berechnung des Normaleneinheitsvektors führt über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis
wobei man aber auch hier im Allgemeinen
noch normieren muss:
Berechnung des Abstands [Bearbeiten]
Für den Abstand der Ebene zum Nullpunkt gilt
.
Beispiel [Bearbeiten]
Hessesche Normalform:
Anwendung zur Abstandsberechnung [Bearbeiten]
Allgemein erhält man den Abstand |s| eines beliebigen Punktes P von der Ebene E, indem man den Ortsvektor
von P für
in die linke Seite der Hesse'schen Normalform einsetzt:
Ist
und
, so liegt P in demselben Halbraum von E wie der Ursprung, bei positivem Vorzeichen von s hingegen im anderen Halbraum.
Verallgemeinerung [Bearbeiten]
Die Hesse'sche Normalform kann man ganz allgemein zur Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen im n-dimensionalen Raum verwenden.


ist.




und
der drei Punkte
,
und
wird der Normaleneinheitsvektor
berechnen.















