Higgs-Bündel

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In der Mathematik sind Higgs-Bündel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Nigel Hitchin eingeführt und wegen der Analogie zu Higgs-Bosonen nach Peter Higgs benannt.

Definition[Bearbeiten]

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar (V,\phi) bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel V über einer Riemannschen Fläche \Sigma und einem Higgs-Feld, d. h. einer \operatorname{End}(V)-wertigen holomorphen 1-Form \phi.

Stabilität, Polystabilität[Bearbeiten]

Ein Higgs-Bündel (V,\phi) heißt stabil, wenn für alle \phi-invarianten holomorphen Unterbündel W\subset V die Ungleichung

\frac{\deg(W)}{\operatorname{rank}(W)}<\frac{\deg(V)}{\operatorname{rank}(V)}

gilt. Hierbei bezeichnet \operatorname{deg} den Grad eines Vektorbündels und \operatorname{rank} seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für \phi-invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel (V,\phi) heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

(V,\phi)=\bigoplus_{i=1}^l(V_i,\phi_i)

stabiler Higgs-Bündel mit

\frac{\deg(V_i)}{\operatorname{rank}(V_i)}=\frac{\deg(V)}{\operatorname{rank}(V)}

für i=1,\ldots,l ist.

Darstellungstheorie[Bearbeiten]

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen \Sigma:

\left\{\begin{array}{c}\mbox{Stabile}\ \mbox{Higgs-Bündel}\\
(V,\Phi)\ \mbox{über}\ \Sigma\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\mbox{Irreduzible}\ \mbox{Darstellungen}\\
\rho\colon\pi_1\Sigma\to GL(n,\C)\end{array}\right\}
\left\{\begin{array}{c}\mbox{Polystabile}\ \mbox{Higgs-Bündel}\\
(V,\Phi)\ \mbox{über}\ \Sigma\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\mbox{Reduktive}\ \mbox{Darstellungen}\\
\rho\colon\pi_1\Sigma\to GL(n,\C)\end{array}\right\}

Höherdimensionale Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten X definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar (V,\phi) aus einem holomorphen Vektorbündel V über X und einer \operatorname{End}(V)-wertigen holomorphen 1-Form \phi, die die Gleichung \phi\wedge\phi=0 erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen ist diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Literatur[Bearbeiten]

  • Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
  • Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
  • Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
  • Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

Weblinks[Bearbeiten]