Hochschild-Homologie und Kohomologie

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Die Hochschild-Homologie und Kohomologie, benannt nach Gerhard Hochschild, ist eine mathematische Theorie, die speziell auf die Untersuchung von Algebren zugeschnitten ist. Es handelt sich um eine Homologie- bzw. Kohomologie-Theorie, die sich aus Kettenkomplexen bzw. Kokettenkomplexen ergibt, die eng mit der Algebrenstruktur zusammenhängen.

Konstruktion der Homologiegruppen[Bearbeiten]

Wir betrachten im Folgenden eine assoziative Algebra A mit Einselement über einem Körper K, kurz eine K-Algebra. Ferner sei ein A-Bimodul M gegeben, das heißt die Modulelemente können von links und rechts mit Elementen aus der Algebra multipliziert werden, so dass die zugehörigen Links- und Rechtmodulstrukturen verträglich sind, was a(mb)=(am)b für alle m\in M und a,b\in A bedeutet. Bezeichnet man mit A^{\otimes n} das n-fache Tensorprodukt von A mit sich selbst, wobei A^{\otimes 0}:= K, so lassen sich folgende Abbildungen definieren:

d_i^{(n)}:\,M\otimes A^{\otimes n} \rightarrow M\otimes A^{\otimes n-1}
m\otimes a_1\otimes\ldots \otimes a_n \mapsto 
\begin{cases} 
ma_1\otimes\ldots \otimes a_n  &\text{für }i=0 \\
m\otimes a_1\otimes\ldots \otimes a_ia_{i+1}\otimes \ldots\otimes a_n, & \text{für }0<i<n\\  a_n m\otimes a_1\otimes\ldots \otimes a_{n-1} & \text{für }i=n 
\end{cases}

wobei sich die d_i^{(n)} zu K-linearen Abbildungen fortsetzen. Weiter sei d_n:= \sum_{i=0}^n (-1)^i d_i^{(n)}:\,  M\otimes A^{\otimes n} \rightarrow M\otimes A^{\otimes n-1}, das heißt

d_1(m\otimes a_1) = ma_1-a_1m
d_2(m\otimes a_1\otimes a_2)  = ma_1\otimes a_2 - m\otimes a_1a_2 + a_2m\otimes a_1
d_3(m\otimes a_1\otimes a_2 \otimes a_3) = ma_1\otimes a_2 \otimes a_3 - m\otimes a_1a_2\otimes a_3 + m\otimes a_1\otimes a_2a_3 -a_3m\otimes a_1\otimes a_2

und so weiter. Dann gilt d_n\circ d_{n+1} = 0 für alle n=1,2,3,\ldots , das heißt man erhält einen Kettenkomplex

 0 \leftarrow M \xleftarrow{d_1} M\otimes A \xleftarrow{d_2} M\otimes A \otimes A \xleftarrow{d_3} \ldots .

Die Hochschild-Homologie von A mit Werten in M ist als Homologie dieses Kettenkomplexes definiert, das heißt die n-te Hochschild-Homologiegruppe von A mit Werten in M ist die Faktorgruppe

H_n(A,M) := \mathrm{ker}(d_n)/ \mathrm{im}(d_{n+1}),

wobei d_0=0 gesetzt wurde. Da die obigen Definitionen der d_i^{(n)} von der Algebren- und Bimodulstruktur Gebrauch machen, können die Hochschild-Homologiegruppen Informationen über die Algebra A enthalten.

Konstruktion der Kohomologiegruppen[Bearbeiten]

Die Hochschild-Kohomologiegruppen erhält man durch eine analoge Konstruktion aus Räumen \mathrm{Hom}(A^{\otimes n},M) von K-linearen Homomorphismen A^{\otimes n}\rightarrow M, wobei A wieder die betrachtete K-Algebra und M ein A-Bimodul seien. Für n=0 erhält man \mathrm{Hom}(A^{\otimes 0},M) = \mathrm{Hom}(K,M)\cong M.

Wir definieren wieder Abbildungen

\partial_i^{(n)}:\, \mathrm{Hom}(A^{\otimes n},M) \rightarrow \mathrm{Hom}(A^{\otimes n+1},M).

Ist f\in \mathrm{Hom}(A^{\otimes n},M), so müssen wir festlegen, wie \partial_i^{(n)}f auf a_1\otimes \ldots \otimes a_{n+1} wirkt und dabei ein Element aus M ergibt, und das geht so

\partial_i^{(n)}f(a_1\otimes \ldots \otimes a_{n+1}) = 
\begin{cases} 
a_1f(a_2\otimes \ldots \otimes a_{n+1}) & \text{für }i=0 \\
f(a_1\otimes \ldots \otimes a_ia_{i+1}\otimes \ldots\otimes a_{n+1}) & \text{für }0<i<n\\  f(a_1\otimes \ldots \otimes a_n)a_{n+1} & \text{für }i=n 
\end{cases}

Man setzt, diesmal mit einem oberen Index:

\partial^n := \sum_{i=0}^n (-1)^i \partial_i^{(n)}: \mathrm{Hom}(A^{\otimes n-1},M) \rightarrow \mathrm{Hom}(A^{\otimes n},M),

das heißt

\partial^1m(a_1)=a_1m-ma_1
\partial^2f(a_1\otimes a_2) = a_1f(a_2)-f(a_1a_2)+f(a_1)a_2
\partial^3f(a_1\otimes a_2\otimes a_3) = a_1f(a_2\otimes a_3)-f(a_1a_2\otimes a_3)+f(a_1\otimes a_2a_3)-f(a_1\otimes a_2)a_3

und so weiter. Dann gilt \partial^{n+1} \circ \partial^n = 0 für alle n=1,2,3,\ldots . Man erhält also einen Kokettenkomplex

0\rightarrow M\cong\mathrm{Hom}(A^{\otimes 0},M) \xrightarrow{\partial^1}\mathrm{Hom}(A^{\otimes 1},M)\xrightarrow{\partial^2}\mathrm{Hom}(A^{\otimes 2},M)\xrightarrow{\partial^3}\ldots .

Die Hochschild-Kohomologie von A mit Werten in M ist als Kohomologie dieses Kokettenkomplexes definiert, das heißt die n-te Hochschild-Kohomologiegruppe von A mit Werten in M ist die Faktorgruppe

H^n(A,M) := \mathrm{ker}(\partial^{n+1})/ \mathrm{im}(\partial^n),

wobei \partial^0 der Nullmorphismus 0\rightarrow M ist.

Auch hier geht die Algebrenstruktur von A in die Definitionen ein, so dass die Hochschild-Kohomologiegruppen Informationen über die Algebra enthalten.

Beispiele[Bearbeiten]

In den folgenden Beispielen, die in den Hochschild-Homomlogie- und Kohomologiegruppen steckende Informationen belegen sollen, seien A wieder eine assoziative K-Algebra mit Einselement und M ein A-Bimodul. Die 0-te Hochschild-Homologie und Kohomologiegruppen lassen sich leicht bestimmen:

H_0(A,M) = M/\mathrm{im}(d_1) = M/[M,A],

wobei [M,A], der Kommutator aus M und A, das Erzeugnis aus allen am-ma, a\in A, m\in M ist.

Weiter ist

H^0(A,M) = \mathrm{ker}(\partial^1) = \{m\in M;\, am=ma\,\forall a\in A\}.

A=M ist auf natürliche Weise ein A-Bimodul, wobei die Verträglichkeitsbedingung genau durch das Assoziativgesetz gegeben ist. Als Spezialfall erhält man daher

 H_0(A,A) = A/[A,A] und H^0(A,A)=Z(A),

wobei Z(A) das Zentrum von A ist.

Eine K-Derivation auf A mit Werten in M ist eine K-lineare Abbildung f:A\rightarrow M mit der zusätzlichen Eigenschaft f(a_1a_2)=a_1f(a_2)+f(a_1)a_2, die an die Produktregel für das Ableiten erinnert. Mit \mathrm{Der}(A,M) sei die Menge aller Derivationen bezeichnet. Für jedes m\in M ist durch f_m(a) := am-ma eine solche Derivation gegeben. Derartige Derivationen f_m nennt man innere Derivationen, \mathrm{IDer}(A,M) bezeichne die Menge aller inneren Derivationen. Eine Inspektion der oben für \partial^1 und \partial^2 angegebenen Formeln zeigt

\mathrm{im}(\partial^1)=\mathrm{IDer}(A,M), \mathrm{ker}(\partial^2)=\mathrm{Der}(A,M)

und daher

H^1(A,M) = \mathrm{Der}(A,M)/\mathrm{IDer}(A,M).

Die erste Hochschild-Kohomologiegruppe gibt also Auskunft über die Reichhaltigkeit der Derivationen, ihr Verschwinden bedeutet, dass alle Derivationen inner sind.

Multilineare Abbildungen[Bearbeiten]

Die Hochschild-Kohomologiegruppen können alternativ mittels den Räumen \mathrm{MLin}(A^n,M) der multilinearen Abbildungen A^n \rightarrow M eingeführt werden. Man setzt für f\in \mathrm{MLin}(A^{n-1},M) und (a_1,\ldots, a_n)\in A^n:


\partial^nf(a_1,\ldots, a_n) := a_1f(a_2,\ldots,a_n) + \sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i f(a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_n) + (-1)^n f(a_1,\ldots, a_{n-1})a_n

und man kommt zu einem entsprechenden Kokettenkomplex

0\rightarrow M=\mathrm{MLin}(A^0,M)\xrightarrow{\partial^1}\mathrm{MLin}(A,M)\xrightarrow{\partial^2}\mathrm{MLin}(A^2,M)\xrightarrow{\partial^3}\ldots ,

mit dem man wieder Kohomologiegruppen definieren kann. Man erhält zu den oben definierten H^n(A,M) isomorphe Gruppen, da sich multilineare Abbildungen A^n\rightarrow M und lineare Abbildungen A^{\otimes n}\rightarrow M nach Konstruktion des Tensorproduktes 1 zu 1 entsprechen.

Topologische Algebren[Bearbeiten]

Die oben vorgestellten Konzepte lassen sich auch für topologische Algebren, insbesondere Banachalgebren, ausführen, wobei man bei der Tensorproduktbildung im Falle von Banachalgebren das projektive Tensorprodukt verwendet und sich bei allen auftretenden Abbildungen auf stetige Abbildungen beschränkt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Henri Cartan, Samuel Eilenberg: Homological Algebra, Princeton University Press (1999), ISBN 978-0-691-04991-5, insbesondere Kapitel X
  • A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6.
  • G. Hochschild: On the Cohomology Groups of an Associative Algebra, Annals of Mathematics Band 46 (1945), Seiten 58-76