Hochzusammengesetzte Zahl

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Zur Verwendung für Zahlen, die höchstens 2, 3, 5, 7 als Primfaktoren besitzen, siehe 7-glatte Zahl.

Eine hochzusammengesetzte Zahl (engl. highly composite number, kurz: HCN) ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl. Solche Zahlen sind aufgrund ihrer maximalen Teilbarkeit eine Art Gegenstück zu den Primzahlen.[1] Sie wurden mit als Erstes vom indischen Mathematiker S. Ramanujan untersucht.

Die ersten zwanzig hochzusammengesetzten Zahlen:

 Rang: Siehe: Ordinalzahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 Zahl: Folge A002182 in OEIS 1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680 2520 5040 7560
 Teiler: Folge A002183 in OEIS 1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64

Eigenschaften[Bearbeiten]

Aufbau[Bearbeiten]

Zwei notwendige Eigenschaften hochzusammengesetzter Zahlen ergeben sich aus der Teileranzahlfunktion. Bekanntlich ist jede positive natürliche Zahl n folgendermaßen aufgebaut:

n = p_1^{c_1} \cdot p_2^{c_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{c_k}    und    p_1 < p_2 < \dotsb < p_k,

wobei p_i die Primzahlen sind. Die Exponenten c_i sind dabei von null verschiedene natürliche Zahlen. Für k = 0 ergibt sich das leere Produkt n = 1. Die Anzahl der Teiler einer positiven natürlichen Zahl lässt sich dann mit folgender Formel bestimmen:

(c_1 + 1) \cdot (c_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (c_k + 1).

Für hochzusammengesetzte Zahlen folgt aus dieser Formel:

  • Die k Primzahlen p_i sind genau die ersten k Primzahlen, denn jede ausgelassene Primzahl würde es ermöglichen, ein kleineres n mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.
  • Die Folge der Exponenten ist nicht-ansteigend, also c_1\geq c_2\geq\dotsb\geq c_k, denn andernfalls wäre es durch Vertauschung von Exponenten möglich, ein kleineres n mit gleicher Teileranzahl zu konstruieren.

Diese beiden Eigenschaften sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend. So muss, ausgenommen n=4 und n=36, der letzte Exponent 1 sein.

Beispiel:

 720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 hat (4+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 30 Teiler. Das sind mehr Teiler als bei allen kleineren Zahlen. Also ist 720 eine hochzusammengesetzte Zahl.

Anwendungen[Bearbeiten]

Die Eigenschaft, möglichst viele Teiler zu haben, bietet gewisse praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht. So basiert das Winkelgrad­system zu 360° auf einer hochzusammengesetzten Zahl. Auch die Stunden zu 24, Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Münzsystem Karls des Großen mit der Beziehung ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige oder Denare sind hier zu nennen. Auch in Preußen war von 1821 bis 1873 ein Taler gleich 360 Pfennige.

Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen[Bearbeiten]

Als einer der ersten Mathematiker beschäftigte sich der Inder S. Ramanujan eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen. Dabei fand er die oben genannte Regel der nicht-ansteigenden Exponenten. Die Regel kann dazu genutzt werden, hochzusammengesetzte Zahlen zu konstruieren. Ramanujan selbst stellte eine Liste von über hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf. Er übersah dabei aber eine einzige, nämlich die Zahl 293.318.625.600.[2] Heute sind Online-Listen mit über hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. „They are as unlike a prime as a number can be.“ – Hardy, nach Robert Kanigal: The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. Scribner, New York 1991, Seite 232.
  2. Eric W. Weisstein: Highly Composite Number. In: MathWorld (englisch).