Hodge-Zerlegung

Die Hodge-Zerlegung beziehungsweise der Satz von Hodge ist eine zentrale Aussage der Hodge-Theorie. Diese Theorie verbindet die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differentialgeometrie und algebraischen Topologie. Benannt sind die Hodge-Zerlegung und die Hodge-Theorie nach dem Mathematiker William Vallance Douglas Hodge, welcher diese in den 1930er-Jahren als Erweiterung zur De-Rham-Kohomologie entwickelte.

Elliptischer Komplex

Mit $\Gamma^\infty$ werden glatte Schnitte in einem Vektorbündel bezeichnet. Sei $(M,g)$ eine orientierte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $(E_i)_i$ eine Folge von Vektorbündeln. Ein elliptischer Komplex ist eine Sequenz partieller Differentialoperatoren $(D_i)_i$ erster Ordnung

$0 \longrightarrow \Gamma^\infty(E_0) \stackrel{D_0}{\longrightarrow} \Gamma^\infty(E_1) \stackrel{D_1}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{D_{m-1}}{\longrightarrow} \Gamma^\infty(E_m) \longrightarrow 0,$

so dass die folgenden Eigenschaften gelten.

• Die Folge $(\Gamma^\infty(E_i),D_i)$ ist ein Kokettenkomplex, das heißt es gilt $D_i \circ D_{i-1} = 0$ für alle $1 \leq i \leq m$ und
• für jedes $(x,\xi) \in T^*M \backslash \{0\}$ die Sequenz der Hauptsymbole

$0 \longrightarrow \pi(E_0) \stackrel{\sigma_{D_0}}{\longrightarrow} \pi(E_1) \stackrel{\sigma_{D_1}}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{\sigma_{D_{m-1}}}{\longrightarrow} \pi(E_m) \longrightarrow 0$

ist exakt. Dabei bezeichnet $\pi \colon E_i \to M$ die Bündelprojektion.

Die Räume $\Gamma^\infty(E_i)$ können beispielsweise als die Räume der Differentialformen verstanden werden.

Satz von Hodge

Sei nun $M$ eine kompakte, orientierte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $H^i(E_.,D_.)$ die i-te Kohomologiegruppe des elliptischen Komplexes $(\Gamma^\infty(E_i),D_i)$. Außerdem definiere einen (Laplace)-Operator

$\Delta_i : \Gamma^\infty(E_i) \to \Gamma^\infty(E_i).$

durch

$\Delta_i = D_i^* \circ D_i + D_{i-1} \circ D_{i-1}^*.$

Dies ist ein elliptischer Operator. Nun gilt:

• Die $i$-ten Kohomologiegruppe $H^i(E.,D_.)$ ist für alle $i \in \Z$ isomorph zum Kern von $\Delta_i$, das heißt

$\forall i:\ H^i(E.,D_.) \cong \ker(\Delta_i) \subset \Gamma^\infty(E_i).$

• Die Dimension der $i$-ten Kohomologiegruppe ist für alle $i \in \Z$ endlich

$\dim H^i(E.,D_.) < \infty.$

• Es existiert eine orthogonale Zerlegung

$\Gamma^\infty(E_i) = \ker(\Delta_i) \oplus R(D_{i-1}) \oplus R(D_i^*).$

Dabei bezeichnet $\ker$ den Kern und $R$ das Bild eines Operators.

Beispiel: De-Rham-Kohomologie

Der De-Rham-Komplex

$0 \to \mathcal{A}^0(M) \xrightarrow{\mathrm{d_0}} \mathcal{A}^1(M) \xrightarrow{\mathrm{d_1}} \ldots \xrightarrow{\mathrm{d}_{m-1}} \mathcal{A}^m(M) \to 0$

ist ein elliptischer Komplex. Die Räume $\mathcal{A}^i$ sind wieder die Räume der Differentialformen i-ten Grades und $\mathrm{d}_i$ ist die äußere Ableitung. Die dazugehörige Sequenz der Hauptsymbole ist der Koszul-Komplex. Der Operator $\Delta = \mathrm{d}^* \mathrm{d} + \mathrm{d} \mathrm{d}^*$ ist der Hodge-Laplace-Operator. Den Kern dieses Operators nennt man den Raum der harmonischen Differentialformen, da dieser ja analog zum Raum der harmonischen Funktionen definiert ist. Nach dem Satz von Hodge existiert nun ein Isomorphismus zwischen der i-ten De-Rham-Kohomologiegruppe $H^i_{\mathrm{dR}}(\mathcal{A}(M),\mathrm{d})$ und dem Raum der harmonischen $\ker(\Delta_i)$ Differentialformen vom Grad $i$.

Außerdem sind

$b_i(M) := \dim(H^i_{\mathrm{dR}}(\mathcal{A}(M),\mathrm{d}))$

wohldefinierte Zahlen, da die De-Rham-Kohomologiegruppen endliche Dimension haben. Diese Zahlen heißen Betti-Zahlen. Der Hodge-Stern-Operators $\star : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{n-i}(M)$ induziert auch einen Isomorphismus zwischen den Räumen $\ker(\Delta_i)$ und $\ker(\Delta_{n-i})$. Dies ist die Poincaré-Dualität und für die Betti-Zahlen gilt

$b_i(M) = b_{n-i}(M).$

Literatur

• Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific, Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.