Hohlleiter

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Ein Hohlleiter ist ein Wellenleiter für elektromagnetische Wellen vorwiegend im Zentimeter-Wellenbereich und darunter (ca. 3 GHz bis 200 GHz). Hohlleiter sind Metallrohre mit meist rechteckigem, kreisförmigem oder elliptischem Querschnitt, in denen sich derart hohe Frequenzen im Gegensatz zu Kabeln sehr verlustarm übertragen lassen.

Hohlleiteranordnung eines Flugzeug-Bordradars (Sowjetunion, etwa 1972). Streichholzschachtel als Größenvergleich
Rechteckiger Hohlleiter

Physikalischer Hintergrund[Bearbeiten]

Veranschaulichung der Hohlleiterwellenlänge
Veranschaulichung des elektrischen Feldes einer elektromagnetischen Welle in einem Rechteckhohlleiter bei Mode TE31

Trifft eine elektromagnetische Welle senkrecht auf eine gut leitende Grenzfläche, wird sie in sich selbst reflektiert. Bei geeignetem Abstand einer parallelen zweiten Grenzfläche kann es zur Ausbildung einer stehenden Welle kommen. Weitere Wände bilden einen Hohlraumresonator. Die elektromagnetischen Wellen in dessen Innenraum sind jedoch stehende Wellen; es handelt sich um ein ortsfestes elektrisches und magnetisches Wechselfeld. Die möglichen Resonanzfrequenzen der stehenden Wellen hängen vom Abstand der Wände zueinander ab.

In einem Hohlleiter bewegt sich dagegen das elektrische und magnetische Wechselfeld fort: Man stelle sich ein langes Rohr mit rechteckigem Querschnitt vor, in dem eine ebene Welle senkrecht auf eine Schmalseite trifft und zwischen beiden Wänden hin und her reflektiert wird. Die Wellenlänge ist doppelt so groß wie der Abstand der beiden Wände, sodass eine stehende Welle entsteht. Wird nun die Wellenlänge etwas verkleinert, so kann sich die Welle nur in einem speziellen Winkel ausbreiten, bei dem zwischen den beiden Wänden wieder eine stehende Welle entsteht. Dazu muss die Wellenlänge entlang der längeren Wand wieder doppelt so groß wie der Abstand der beiden Wände sein. Die resultierende Wellenlänge in Längsrichtung führt zu einer Wellenausbreitung entlang des Hohlleiters. Man spricht daher zur Unterscheidung von stehenden Wellen auch von einer Wanderwelle.

Die Mindestbreite eines Rechteckhohlleiters entspricht etwa der halben Wellenlänge der übertragenen Frequenz - genau dann passt nur ein einziger Schwingungsbauch in Querrichtung hinein. Man kann daher aus der Breite eines Rechteck-Hohlleiters auf die im zugehörigen Gerät verwendete niedrigste Frequenz schließen. Die dazugehörige Wellenlänge nennt man die kritische Wellenlänge λk oder die Grenzwellenlänge λc (mit c für „cut-off“). Sie errechnet sich nach der Beziehung λk = 2·a (wobei a die längere Seite des Rechteckhohlleiterquerschnitts ist, siehe Skizze oben).

Hohlleiter können auch unter erhöhten Gas-Innendruck gesetzt werden, um höhere Leistungen übertragen zu können, ohne dass Überschläge beziehungsweise Luftdurchschläge auftreten. Das Phänomen Multipaction bedeutet in diesem Zusammenhang die konstruktive Überlagerung mehrerer verschiedener Wellenlängen, wodurch sehr hohe Feldstärken entstehen können.

Moden[Bearbeiten]

Die beschriebene Art der Ausbreitung kann so erfolgen, dass ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge zwischen die Schmalseiten passt. Die verschiedenen möglichen Zustände sind die sogenannten Schwingungsmoden, kurz Moden, und werden mit den Zahlen bezeichnet, die diesem Vielfachen entsprechen; also: 1,2,3,… .

Bei höheren Frequenzen gesellen sich zu den horizontalen transversalen Moden noch die vertikalen zwischen Ober- und Unterseite des Rohrs, wo unabhängig wiederum verschiedene Moden auftreten. Deshalb ist zur Beschreibung einer Mode im rechteckigen Hohlleiter jeweils die Angabe von 2 Zahlen notwendig: z. B. (2,3)-Mode. Dabei steht je eine der Zahlen für eine der transversalen Moden in Richtung der elektrischen und der magnetischen Feldkomponente (E- und H-Richtung).

Ausbreitungsmodi.svg

Die Feldlinien des elektrischen Feldes stehen immer senkrecht auf dem Außenleiter und verlaufen von einer Wandseite zur anderen. Je nachdem, wie viele Extremwerte der Feldverlauf über die gesamte Breite des Hohlleiters aufweist, erhält die Modenbezeichnung ihren ersten Index. Die Breite eines Hohlleiters wird mit a bezeichnet. Bei einem Maximum, der Mindestanzahl für die elektrische Feldverteilung, spricht man also von einer H_{1m}- bzw. E_{1m} Welle.

Analog bezeichnet die Anzahl an Maxima im Feldverlauf des elektrischen Felds über die gesamte Höhe des Hohlleiters den zweiten Index. Die Höhe eines Hohlleiters wird mit b bezeichnet. Die Feldstärke kann über die gesamte Hohlleiterhöhe konstant bleiben (es muss also kein Maximum geben), man spricht dann von einer H_{n0} bzw. E_{n0} Welle.

Vergleichbare Moden gibt es auch in runden Hohlleitern. Hier kommen jedoch noch Moden hinzu, die entlang des Rohrumfanges eine homogene Feldverteilung haben.

Die Ein- und Auskopplung der HF-Energie erfolgt durch Schlitze, Koppelschleifen, Stäbe, Trichter (Hornstrahler) oder Löcher - je nachdem, ob die Energie in einen anderen Hohlleiter, in ein Koaxialkabel oder ins Freie gelangen soll. Ort und Gestalt dieser Koppelelemente bestimmen die Mode und die Ausbreitungsrichtung der Wellen.

E-/H-Moden[Bearbeiten]

Elektrisches und magnetisches Feld stehen bei elektromagnetischen Wellen immer senkrecht aufeinander. Damit die Welle sich in einer Raumrichtung fortpflanzen kann, müssen Wellenkomponenten in diese Raumrichtung existieren. Zeigt das elektrische Feld in Ausbreitungsrichtung, spricht man von E-Moden. Zeigt das magnetische Feld in Ausbreitungsrichtung, spricht man von H-Moden. Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt durch einen Hohlleiter (z-Richtung).

Unterschied zwischen E- und H-Moden

Hohlleiterwellenlänge und Grenzfrequenz[Bearbeiten]

Während der Abstand der Maxima der Feldverteilung in x- bzw. y-Richtung von der Freiraumwellenlänge der Welle abhängt, ist für den Abstand der Maxima in z-Richtung, also in Ausbreitungsrichtung, die Hohlleiterwellenlänge entscheidend.

Die Hohlleiterwellenlänge \lambda_{H,nm} ist gemäß der Gleichung von der Freiraumwellenlänge \lambda_0, der Breite a des Hohlleiters und der Höhe b und dem jeweiligen Mode abhängig. Die Hohlleiterwellenlänge ist immer größer als die Freiraumwellenlänge gleicher Frequenz. Es gibt keinen Unterschied zwischen der Hohlleiterwellenlänge des H_{nm}, -Modes und des entsprechenden E_{nm}, -Modes.

Die Hohlleiterwellenlänge hängt nicht-linear von der Freiraumwellenlänge ab. Es existiert eine Wellenlänge, für die die Hohlleiterwellenlänge gegen unendlich geht.

\lambda_{H,nm} = \frac {\lambda_0}{\sqrt{1-\lambda_0^2 \left[\left( \frac{n}{2a} \right)^2+ \left( \frac{m}{2b} \right)^2\right]}}

Eine unendlich große Hohlleiterwellenlänge bedeutet, dass die Welle nicht ausbreitungsfähig ist. Da die Hohlleiterwellenlänge für einen Mode einer bestimmten Frequenz von den Abmessungen des Hohlleiters abhängt, sind in einem Hohlleiter nicht beliebige Moden ausbreitungsfähig. Je höherwertig ein Mode ist, desto größer ist seine Grenzfrequenz, bzw. desto kleiner ist die Grenzwellenlänge \lambda_{\mathrm{grenz,}nm}.

\lambda_{\mathrm{grenz,}nm} = \frac {1}{\sqrt{\left( \frac{n}{2a} \right)^2+ \left( \frac{m}{2b} \right)^2}} = \frac{c}{f_\mathrm{grenz}}

Die Grenzfrequenz teilt den Frequenzbereich in zwei Bereiche, den Dämpfungsbereich und den Ausbreitungsbereich. Entscheidend ist hierbei das Verhalten des Ausbreitungskoeffizienten γ über der Frequenz.

Im Dämpfungsbereich ist die Welle nicht ausbreitungsfähig. Der Ausbreitungskoeffizient ist als \alpha_\mathrm{max} rein reell. Die Welle wird demnach aperiodisch gedämpft. Nicht ausbreitungsfähige Moden können angeregt werden und zumindest zeitweilig einen Teil der Wellenenergie binden. Ist die Frequenz der Welle gleich der Grenzfrequenz, so ist der Ausbreitungskoeffizient gleich Null. Die Welle wird im rechten Winkel zwischen den Seiten des Hohlleiters reflektiert, ohne dass ein Energietransport stattfindet.

Für Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz ist die Welle ausbreitungsfähig. Der Ausbreitungskoeffizient ist im Idealfall \beta_{\infty} und damit rein imaginär. Die Welle wird demnach nicht gedämpft, sondern breitet sich im Hohlleiter mit einer frequenzabhängigen Phasenverschiebung aus. Im realen Hohlleiter wird auch eine ausbreitungsfähige Welle gedämpft. Dazu tragen die Verluste in der nur endlich leitfähigen Hohlleiterwand (Oberflächenströme) bei. Der (Verlust)anteil der Oberflächenströme am Leistungstransport ist modenabhängig, sinkt tendenziell mit höheren Moden und steigt tendenziell aufgrund des Skineffektes. Da Hohlleiter in der Regel luft- oder gasgefüllt sind, treten keine dielektrischen Verluste auf. Das ist ein wesentlicher Faktor für ihren Einsatz bei sehr hohen Frequenzen.

Wellenimpedanz[Bearbeiten]

Die Wellenimpedanz verknüpft die Amplituden der elektrischen und magnetischen Feldstärken einer elektromagnetischen Welle. Im Hohlleiter ist sie frequenzabhängig und unterscheidet sich für TM- und TE-Modus, besitzt aber überall im Hohlleiter den gleichen Wert.

Z = \frac{Z_{w0}}{\sqrt{1 - \left( \frac{f_{grenz}}{f}\right)^{2}}} \qquad \mbox{(TE Mode)},

wobei fgrenz die cut-off Frequenz des jeweiligen Modes bedeutet und Z_{w0} \approx 377\,\Omega der Freiraumwellenwiderstand ist.

Z = Z_{w0} \sqrt{1 - \left( \frac{f_{grenz}}{f}\right)^{2}} \qquad \mbox{(TM Mode)}

Oberhalb der Grenzfrequenz (f > fgrenz) ist die Impedanz reellwertig und im Hohlleiter pflanzt sich Energie fort. Unterhalb der Grenzfrequenz ist die Impedanz dagegen imaginär und die Wellen dringt mit schwächer werdender Amplitude in den Hohlleiter ein.

Verschiedene Hohlleiter und deren Moden[Bearbeiten]

Im Grunde haben sämtliche Wellenleiter bzw. Hohlleiter dieselben Charakteristika. Dazu gehört eine cut-off-Frequenz, unterhalb derer keine Wellenausbreitung stattfindet.

Während sich in einem Koaxialkabel TEM-Wellen ausbreiten (elektrische und magnetische Felder sind stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung), finden sich in einem Hohlleiter ausschließlich sogenannte H-Wellen (auch TE-Wellen) und E-Wellen (TM-Wellen), bei denen magnetische beziehungsweise elektrische Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung weisen.

Hohlleiter weisen ein Hochpassverhalten auf, mit f_c=c/\lambda_c als Grenzfrequenz. Sowohl Rechteck- als auch Rundhohlleiter weisen unten genannte Grundwellentypen auf. Haben diese Grundwellen (bezogen auf H- bzw. E-Wellen) aufgrund der Abmessungen der Hohlleiter keine Möglichkeit, sich auszubreiten, werden sich auch keine anderen Wellentypen ausbreiten. Siehe auch Hohlraumresonator. Oberhalb der Grenzfrequenz hängt die Ausbreitung der Wellen (beispielsweise Gruppengeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit und Wellenlänge) von der Frequenz ab. Die Wellenausbreitung im Hohlleiter ist somit prinzipiell dispersiv.

Folgende Regeln gelten für die Existenz von Moden:

  • Elektrische und magnetische Feldlinien stehen stets senkrecht aufeinander.
  • Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen und können nicht auf Wände treffen – sie können Wände nur tangieren.
  • Elektrische Feldlinien können nicht entlang der Wände auftreten, sondern nur senkrecht auf sie treffen.

Rechteckhohlleiter[Bearbeiten]

Flexibler Hohlleiter einer J-Band-Radaranlage.

Für einen Rechteckhohlleiter ist, wie vorangehend bereits erwähnt, die größte Abmessung ausschlaggebend. Das heißt, die Breite bestimmt die ausbreitungsfähigen Wellen in diesem Leiter.

Für die E-Welle in Ausbreitungsrichtung gilt:

E_z = E_0 \cdot \sin \left( \frac {m \cdot \pi \cdot x}{a}\right) \cdot \sin \left(\frac{n \cdot \pi \cdot y}{b}\right) \cdot e^{j (\omega t-\beta z)} \,

wobei m und n die Modenzahlen darstellen (m: x-Richtung (quer) und n: y-Richtung (vertikal) bzgl. Ausbreitung in Längsrichtung z). a ist die größere Abmessung des Hohlleiters. Siehe auch Maxwellsche Gleichungen.

Hieraus ergibt sich, dass der sogenannte Grundwellentyp der E-Wellen die E_{11}-Welle ist, da obige Gleichung mit den Werten m=0 oder n=0 zu E_z=0 führt und somit keine E-Komponente in Ausbreitungsrichtung besteht. Somit müssen im Rechteckhohlleiter mindestens E_{11}-Wellen in Ausbreitungsrichtung entstehen können.

Typisch für Rechteckhohlleiter ist jedoch die H10-Welle.

Rundhohlleiter[Bearbeiten]

Für den Rundhohlleiter ergeben sich die Schwingungsmoden über die Besselfunktion und deren Ableitungen sowie Nullstellen, mit welchen die ausbreitungsfähigen H- und E-Wellen für den Rundhohlleiter bestimmt werden können. Nach Berechnungen mit den Besselfunktionen ergibt sich für den Rundhohlleiter mit dem Radius R als Grundmode H_{11}, deren Grenzwellenlänge \lambda_c berechnet sich über die erste Nullstelle der ersten Ableitung der Besselfunktion erster Ordnung, die an der Stelle 1,841 liegt:

\lambda_c=\frac{2 \pi R}{1{,}841} \,

Aufgrund einer höheren Wellendämpfung der H_{11}-Welle gegenüber der H_{01}-Welle, ist es oftmals wünschenswert, die Ausbreitung des letzteren Wellentyps zu verbessern, bzw. ersterer zu verhindern. Aus diesem Grund werden die Innenseiten eines Rundhohlleiters oftmals mit Rillen versehen, welche die Ausbreitung der H_{11}-Welle stören, nicht jedoch die H_{01} Welle. Siehe Bild unten (Hohlleiter mit elliptischem Querschnitt). Die Grenzwellenlänge der H_{01}-Welle berechnet sich mit:

\lambda_c=\frac{2 \pi R}{3{,}832} \,

Somit ist die Grenzwellenlänge der H_{01} kleiner als die der Grundwelle H_{11}, weswegen sich der Hohlleiter für die H_{01}-Welle nicht mehr monomodig verhält.

Hohlleiter mit elliptischem Querschnitt[Bearbeiten]

Elliptischer Hohlleiter für 3,8 GHz bis 5,8 GHz

Neben Rechteckhohlleitern finden auch Hohlleiter mit kreisrundem Querschnitt oder elliptischem Querschnitt Verwendung. Mathematisch lassen sich runde Hohlleiter mit Hilfe der Besselfunktionen berechnen. Die Grenzwellenlänge entspricht auch bei den runden und den elliptischen Hohlleitern grob der doppelten Querabmessung (λk≈ 2·a). Als Faustregel gilt, dass elliptische Hohlleiter in ihren Querabmessungen etwas größer sind als ein Rechteckhohleiter mit gleicher Grenzfrequenz.

Elliptische Hohlleiter lassen sich technisch günstig auch als flexible Leitungen gestalten (Bild). So können größere Längen davon in Rollen oder auf „Kabel“-trommeln aufbewahrt und transportiert werden. Auch lassen elliptische Hohlleiter kleinere Biegeradien zu als runde oder eckige.

Anschlüsse und Verbindungen eines Hohlleiters[Bearbeiten]

Energieeinspeisung in einen Hohlleiter; im rechten Bild Ansicht von oben
Drosselverbindung zweier Hohlleiter mit λ/4-Leitungen

In einen Hohlleiter wird die elektrische Energie mit einer Sonde (Stabantenne) eingekoppelt, die λ/4 vom geschlossenen Ende entfernt in den Hohlleiter hineinragt. Die sich von der Sonde des Kopplers ablösende Welle „sieht” an drei Seiten den unendlich hohen Widerstand (siehe Sonderfall λ/4) der kurzgeschlossenen λ/4-Leitung. Die elektromagnetische Welle kann sich also nur in der verbleibenden Richtung ausbreiten.

Bei der Verbindung eines Hohlleiters mit anderen Geräten muss der elektrische Widerstand entlang des gesamten Umfangs sehr gering sein, da in der Wandung hohe Ströme fließen können. Ein einfacher Anpresskontakt kann den Übergangswiderstand nicht dauerhaft gering halten, deshalb verwendet man eine λ/2-Transformationsleitung A-C, die einen Kurzschluss bei A in einen Kurzschluss bei C transformiert (siehe Sonderfall λ/2). Man wählt einen Hohlleitermodus, bei dem bei C ein Spannungsmaximum liegt (siehe mittleres Bild).

Da in der Mitte bei Punkt B nur geringe Ströme fließen, wirkt sich dort ein etwaiger Übergangswiderstand wenig aus. An dieser Stelle kann man sogar eine isolierende Gummiplatte einbauen, um den Hohlleiter mit Schutzgas füllen zu können. Dieses Prinzip der Resonanzdichtung wird auch eingesetzt, um die Tür eines Mikrowellenherdes hochfrequenztechnisch abzudichten.

Der Abschluss eines Hohlleiters kann reflexionsfrei mittels eines Wellensumpfes erfolgen.

Hohlleiter-Frequenzbänder[Bearbeiten]

Ein Hohlleiter mit bestimmten Abmessungen wird jeweils nur in einem bestimmten Frequenzbereich mit weniger als einer Oktave Bandbreite sinnvoll benutzt. Unterhalb der unteren Grenzfrequenz ist keine Ausbreitung möglich und die elektromagnetische Welle wird blindgedämpft, oberhalb der oberen Frequenzgrenze sind neben der gewünschten Grundmode unerwünschte höhere Moden ausbreitungsfähig. Handelsübliche Rechteck-Hohlleiter sind unter anderem für die folgenden Frequenzbereiche erhältlich:

Frequenzbereich/GHz Bandbezeichnung Bezeichnung Breite/mm Breite/Zoll
DIN 47302 / IEC 153 EIA
0,77 … 1,14 UHF/L R 9 WR 975 247,65 9,750
1,12 … 1,7 L R 14 WR 650 165,10 6,500
1,7 … 2,6 LA R 22 WR 430 109,22 4,300
2,2 … 3,3 LS R 26 WR 340 86,36 3,400
2,6 … 3,95 S R 32 WR 284 72,14 2,840
3,22 … 4,90 A R 40 WR 229 58,17 2,290
3,95 … 5,85 G R 48 WR 187 47,55 1,872
4,64 … 7,05 C R 58 WR 159 40,39 1,590
5,85 … 8,2 J R 70 WR 137 34,85 1,372
7,05 … 10,0 H R 84 WR 112 28,50 1,122
8,2 … 12,4 X R 100 WR 90 22,86 0,900
10,0 … 15,0 M R 120 WR 75 19,05 0,750
12,4 … 18,0 P R 140 WR 62 15,80 0,622
15,0 … 22,0 N R 180 WR 51 12,95 0,510
18,0 … 26,5 K R 220 WR 42 10,67 0,420
21,7 … 33,0 R 260 WR 34 8,64 0,340
25,5 … 40,0 R R 320 WR 28 7,11 0,280
33,0 … 50,0 Q WR 22 5,69 0,224
40,0 … 60,0 U WR 19 4,78 0,188
50,0 … 75,0 V WR 15 3,76 0,148
75,0 … 110 W WR 10 2,54 0,100
90 … 140 WR 8 2,032 0,080
110 … 170 WR 6 1,651 0,065
140 … 220 WR 5 1,295 0,051
170 … 260 WR 4 1,092 0,043
220 … 325 WR 3 0,864 0,034

Dieser Tabelle liegt ein Breite-Höhe-Verhältnis von 2:1 zugrunde. Die unteren empfohlenen Übertragungsfrequenzen liegen im Mittel um das 1,26fache über der sich aus der Breite ergebenden kritischen unteren Grenzfrequenzen, die oberen Übertragungsfrequenzen betragen im Mittel das 1,48fache der unteren empfohlenen Übertragungsfrequenzen. Der Faktor 1,86 (Mittelwert) der oberen Übertragungsfrequenzen zur jeweiligen kritischen unteren Grenzfrequenz sichert monomodige Ausbreitung (Wert < 2).

Zur WRxxx-Bezeichnung der Hohlleiter: Dabei wird die Breite des Hohlleiters in % eines Zolls (1 Zoll (inch) = 25,4 mm) ausgedrückt. Ein WR-28-Hohlleiter ist somit 28 % eines Zolls = 7,11 mm breit.

Hohlleiter in der Praxis[Bearbeiten]

Hohlleiter werden verwendet:

Ein Leitungslüfter hält Feuchtigkeit aus der Umgebung fern, die die Anpassung des Hohlleiters verfälschen könnte.

Fachliteratur[Bearbeiten]

  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4
  • Technik der Nachrichtenübertragung Teil 3 Drahtgebundene Nachrichtenübertragung – Leitungstechnik. Institut zur Entwicklung moderner Unterrichtsmethoden e.V., Bremen

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Hohlleiter – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Hohlleiter – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Siehe auch[Bearbeiten]