Holomorphe Funktion

Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion f in sein Abbild überführt

Holomorphie (von gr. holos, „ganz“ und morphe , „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden. Eine Funktion $f\colon U \rightarrow \mathbb{C}$ für eine offene Menge $U \subset \mathbb{C}$ heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist. Insbesondere in älterer Literatur werden solche Funktionen auch regulär genannt.

Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist eine holomorphe Funktion stets unendlich oft (stetig) differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln.

Definitionen

Es sei $U \subset \mathbb{C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_0\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U \rightarrow \mathbb{C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_0$, falls der Grenzwert

$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$

existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als $\ f'(z_0)$.

Die Funktion $f$ heißt holomorph im Punkt $z_0$, falls eine Umgebung von $z_0$ existiert, in der $f$ komplex differenzierbar ist. Ist $f$ auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph, so nennt man $f$ eine ganze Funktion.

Erläuterungen

Zusammenhang zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit

$\mathbb{C}$ ist in natürlicher Weise ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis $(1,i)$ und so kann man eine Funktion $f\colon U \rightarrow \mathbb{C}$ auf einer offenen Menge $U \subset \mathbb{C}$ auch auf ihre totale Differenzierbarkeit im Sinne der mehrdimensionalen reellen Analysis untersuchen. Bekanntlich heißt $f$ (total) differenzierbar in $z_0$, falls eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung $L$ existiert, so dass

$f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + r(h)$

gilt, wobei $r$ eine Funktion mit

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0$

ist. Nun sieht man, dass die Funktion $f$ genau dann in $z_0$ komplex differenzierbar ist, wenn sie dort total differenzierbar ist und $L$ sogar $\mathbb{C}$-linear ist. Letzteres ist eine starke Bedingung. Sie bedeutet, dass die Darstellungsmatrix von $L$ bezüglich der kanonischen Basis $(1,i)$ die Form

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

hat.

Cauchy-Riemann Differentialgleichungen

Zerlegt man nun eine Funktion $f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)$ in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen $u,v$, so ist hat die totale Ableitung $L$ als Darstellungsmatrix die Jacobi-Matrix

$\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}.$

Folglich ist die Funktion $f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für $u,v$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}$ und $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}$

erfüllt sind.

Äquivalente Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Variablen

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

1. Eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar.
2. Eine Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar.
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar.
4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
5. Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.
7. f ist (reell) differenzierbar und es gilt
   $\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,$
   wobei $\tfrac{\partial}{\partial \bar z}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch $\tfrac\partial{\partial\bar z}\colon{=}\tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)$ definiert ist.

Beispiele

Ganze Funktionen

Ganze Funktionen sind auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph. Beispiele dafür sind:

• jedes Polynom $\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j$ mit Koeffizienten $a_j \in \mathbb{C}$

• die Exponentialfunktion $\exp$

• die trigonometrischen Funktionen $\sin$ und $\cos$

• die hyperbolischen Funktionen $\sinh$ und $\cosh$

Holomorphe, nicht ganze Funktionen

• Gebrochen rationale Funktionen sind holomorph außer an den Nullstellen ihres Nennerpolynoms. Dort besitzen sie isolierte Polstellen und sind damit auch Beispiele für meromorphe Funktionen.
• Die Logarithmusfunktion $\log$ lässt sich in allen Punkten aus $\C \setminus {]{-}\infty,0]}$ in eine Potenzreihe entwickeln und ist somit auf der Menge $\C \setminus {]{-}\infty,0]}$ holomorph.

Nirgends holomorphe Funktionen

Folgende Funktionen sind in keinem $z\in\mathbb{C}$ komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph:

• die Betragsfunktion $z\mapsto |z|$

• die Projektionen auf den Realteil $z\mapsto\mathrm{Re}(z)$ beziehungsweise auf den Imaginärteil $z\mapsto\mathrm{Im}(z)$

• die komplexe Konjugation $z\mapsto\overline{z}$

Die Funktion $z \mapsto |z|^2$ ist nur an der Stelle $z = 0$ komplex differenzierbar, aber dort nicht holomorph, da sie nicht auf einer ganzen Umgebung von $0$ komplex differenzierbar ist.

Eigenschaften

Sind $f, g\colon U \rightarrow \mathbb{C}$ komplex differenzierbar in $z \in U$, so auch $f+g$, $f-g$ und $f\cdot g$. Ist $g(z)\neq 0$, so ist auch $\tfrac{f}{g}$ in $z\in U$ komplex differenzierbar. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotientenregel und Kettenregel.

Es folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die allesamt kein Pendant in der reellen Theorie besitzen. In der Folge sei $U \subset \mathbb C$ ein Gebiet und $f\colon U \rightarrow \mathbb C$ holomorph.

Cauchyscher Integralsatz

→ Hauptartikel: Cauchyscher Integralsatz

Ist $U \subset \mathbb{C}$ einfach zusammenhängend und $\gamma$ ein Zyklus in $U$, so gilt der cauchysche Integralsatz

$\int_\gamma f(z)\,\mathrm dz=0\,.$

Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn $U$ ein Sterngebiet und $\gamma$ ein geschlossener Weg ist.

Cauchysche Integralformel

→ Hauptartikel: Cauchysche Integralformel

Sei $D := U_r(a)$ die offene Kreisscheibe mit Radius $r$ um den Punkt $a \in U$. Liegt der Abschluss von $D$ noch ganz in $U$, so gilt für alle $z \in D$ und $k \in\N_0$ die cauchysche Integralformel

$f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\mathrm d\zeta.$

Der Funktionswert eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.

Holomorphie und Analytizität

Eine Folgerung aus der cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in $z_0$ holomorphe Funktion ist in $z_0$ analytisch. Umgekehrt lässt sich jede in $z_0$ analytische Funktion zu einer in $z_0$ holomorphen Funktion fortsetzen.

Da Potenzreihen unendlich oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

Identitätssatz

Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. Der Identitätssatz besagt, dass zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet $G \subset \C$ bereits dann auf $G$ identisch sind, wenn sie auf einer geeigneten Teilmenge $M \subset G$ übereinstimmen. Dabei muss die Übereinstimmungsmenge $M$ noch nicht einmal ein kontinuierlicher Weg sein, es reicht aus, dass $M$ einen Häufungspunkt in $G$ besitzt. Diskrete Teilmengen reichen hierfür hingegen nicht aus.

Weiteres

• Der Satz von Liouville besagt, dass jede beschränkte ganze Funktion konstant ist. Eine einfache Folgerung hieraus ist der Fundamentalsatz der Algebra.

• Ist $U \subset \mathbb C$ ein Gebiet und $f \colon U \rightarrow \mathbb C$ nicht konstant, dann ist $f(U)\subset\mathbb C$ wieder ein Gebiet. (Satz von der Gebietstreue)

• Eine Folgerung der Gebietstreue ist das Maximumprinzip.

• Konvergiert eine Folge $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ holomorpher Funktionen kompakt auf $U$ gegen die Grenzfunktion $f$, so ist $f$ wieder holomorph, und man kann Limesbildung und Differentiation vertauschen, das heißt, die Folge $(f'_n)$ konvergiert kompakt gegen $f'$. (Satz von Weierstraß).

• Ist die Folge $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ holomorpher Funktionen auf $U$ lokal beschränkt, so existiert eine kompakt konvergente Teilfolge. (Satz von Montel)

• Jede auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $D\subseteq\mathbb{R}^2$ zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion $u$ ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion $f$: $\displaystyle f(x+\mathrm{i} y)=u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)$. Die reelle Funktion $v=\operatorname{Im} f$ erfüllt ebenfalls $\triangle v=0$. Sie wird als konjugiert harmonisch zu $u$ bezeichnet und $f$ als komplexes Potential.

Biholomorphe Funktionen

→ Hauptartikel: Biholomorphe Funktion

Eine Funktion, die holomorph, bijektiv und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man biholomorph. Im Fall einer komplexen Veränderlichen ist das äquivalent dazu, dass die Abbildung bijektiv und konform ist. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt. Im nächsten Abschnitt werden holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher eingeführt. In diesem Fall garantiert der Satz von Osgood diese Eigenschaft. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind.

Aus Sicht der Kategorientheorie ist eine biholomorphe Abbildung ein Isomorphismus.

Holomorphie mehrerer Veränderlicher

Im n-dimensionalen komplexen Raum

Sei $D \subset \mathbb{C}^n$ eine komplexe offene Teilmenge. Eine Abbildung $f \colon D \rightarrow \mathbb{C}^m$ heißt holomorph, falls $f = (f_1, \ldots , f_m)$ in jeder Teilfunktion und jeder Variablen holomorph ist. Mit dem Wirtinger-Kalkül $\textstyle \frac{\partial}{\partial z^j}$ und $\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}^j}$ steht ein Kalkül zur Verfügung mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion einfacher verwalten kann. Jedoch haben holomorphe Funktionen mehrerer Veränderliche nicht mehr so viele schöne Eigenschaften.

So gilt für Funktionen $f \colon D \to \C$ der cauchysche Integralsatz nicht und der Identitätssatz ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch Induktion auf n Dimensionen verallgemeinert werden. Im Jahr 1944 konnte Salomon Bochner sogar noch eine Verallgemeinerung der $n$-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen Bochner-Martinelli-Formel.

In der komplexen Geometrie

Auch in der komplexen Geometrie werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen riemannschen Flächen beziehungsweise zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den glatten Differentialformen, die holomorphe Differentialformen heißen.

Literatur

Standardwerke

Einführungen

• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)

•  Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6.

•  Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3.

•  Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6.

Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie

•  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.

•  Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann'sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel'sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.

•  Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5.

•  Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.