Homogenes Polynom

Ein Polynom heißt homogen, falls sämtliche Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben.

Definition

Sei R ein kommutativer Ring, n > 0 eine natürliche Zahl und R[X₁, …, X_n] der Polynomring in den Variablen X₁, …, X_n über R. Für das Polynom f aus dem Polynomring existiert eine positive Zahl r sowie Elemente $a_1, \dots, a_r \in R \setminus \{ 0 \}$ und Monome $m_1, \dots, m_r \neq 0$ in den Variablen $X_1, \dots, X_n$, so dass sich f als

$f = a_1 m_1 + \dots + a_r m_r$

darstellen lässt. Das Polynom f ist homogen, wenn für alle i und j aus der Menge {1, …, r} gilt:

$\deg( m_i ) = \deg( m_j )$.

Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen können, lässt sich die Definition von homogenen Polynomen direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern.

Eigenschaften

• Ist $f \in R[ X_1, \dots, X_n ]$ homogen vom Grad $k$, so gilt

$f(\lambda x)=\lambda^k\cdot f(x)$ für $\lambda\in R, x\in R^n$.

(Die Formel gilt auch für $\lambda,x_1,\ldots,x_n$ in einer beliebigen $R$-Algebra, sofern diese Elemente miteinander kommutieren.)

• Ist $R$ ein unendlicher Körper oder Integritätsbereich, so gilt auch die Umkehrung, d. h. jedes Polynom, für das $f(\lambda x)=\lambda^k f(x)$ für alle $\lambda \in R$ und $x \in R^n$ gilt, ist homogen vom Grad $k$.

Beispiele

• Jedes Monom ist homogen.
• Die Menge aller homogenen Polynome in $R[ X ]$, dem Polynomring in einer Variablen über $R$, ist gegeben durch

$\{ a X^n \; | \; a \in R, \; n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \}$.

• Einfache Beispiele für homogene Polynome in $\mathbb{Z}[ X, Y ]$ (siehe Ganze Zahlen) sind:
  • $X^4 - Y^4$ ist homogen, da $\deg( X^4 ) = \deg( Y^4 ) = 4$.
  • $X^7 + 5 X^3 Y^4 + X Y^6$ ist homogen, da $\deg( X^7 ) = \deg( X^3 Y^4 ) = \deg( X Y^6 ) = 7$.
• Beispiele für nicht-homogene Polynome in $\mathbb{Q}[ X, Y, Z ]$ (siehe Rationale Zahlen) sind:
  • $X^4 Z - \frac{3}{4} Y Z^2$ ist nicht homogen, da $5 = \deg( X^4 Z ) \neq \deg( Y Z^2 ) = 3$.
  • $X^3 Y^3 Z^2 - 3 X^2 Y^6 - \frac{7}{3} Y^5$ ist nicht homogen, da zwar $\deg( X^3 Y^3 Z^2 ) = \deg( X^2 Y^6 ) = 8$ aber $\deg( Y^5 ) = 5$.

Graduierung

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome von einem Grad zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

$R[X_1,\ldots,X_n]=\bigoplus_{d\geq0}A_d,$

wobei

$A_d=\bigoplus_{e_1+\ldots+e_n=d,\ e_i\geq0}R\cdot X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}$

die Menge der homogenen Polynome vom Grad $d$ zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

$A_d\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},$

der Polynomring ist also eine graduierte Algebra über $R$.