Homogenes Polynom

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Ein Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben.

Definition[Bearbeiten]

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und R[X_1, \dots, X_n] der Polynomring über R in n Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom p \in R[X_1, \dots, X_n], für das ein \alpha \in R mit

p = \alpha X_1^{i_1} \cdot\dots\cdot X_n^{i_n}

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

\mathrm{deg}(p)=i_1 + \dots + i_n.

Ein Polynom in R[X_1, \dots, X_n] wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist f \in R[ X_1, \dots, X_n ] homogen vom Grad k, so gilt
f(\lambda x)=\lambda^k\cdot f(x) für \lambda\in R, x\in R^n.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jedes Monom ist homogen.
  • Die Menge aller homogenen Polynome in R[X], dem Polynomring in einer Variablen über R, ist gegeben durch
\{ a X^n \; | \; a \in R, \; n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \}.
  • Einfache Beispiele für homogene Polynome in \mathbb{Z}[ X, Y ] (siehe ganze Zahlen):
    • X^4 - Y^4 ist homogen, da \deg( X^4 ) = \deg( Y^4 ) = 4.
    • X^7 + 5 X^3 Y^4 + X Y^6 ist homogen, da \deg( X^7 ) = \deg( X^3 Y^4 ) = \deg( X Y^6 ) = 7.
  • Beispiele für nicht-homogene Polynome in \mathbb{Q}[ X, Y, Z ] (siehe rationale Zahlen):
    • X^4 Z - \frac{3}{4} Y Z^2 ist nicht homogen, da 5 = \deg( X^4 Z ) \neq \deg( Y Z^2 ) = 3.
    • X^3 Y^3 Z^2 - 3 X^2 Y^6 - \frac{7}{3} Y^5 ist nicht homogen, da zwar \deg( X^3 Y^3 Z^2 ) = \deg( X^2 Y^6 ) = 8, aber \deg( Y^5 ) = 5.

Graduierung[Bearbeiten]

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

R[X_1,\ldots,X_n]=\bigoplus_{d\geq0}A_d,

wobei

A_d=\bigoplus_{e_1+\ldots+e_n=d,\ e_i\geq0}R\cdot X_1^{e_1} \cdot\dots\cdot X_n^{e_n}

die Menge der homogenen Polynome vom Grad d zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

A_d\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},

der Polynomring ist also ein graduierter Ring.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Allgemein heißen in einem graduiertem Ring

\bigoplus_{d\geq0}A_d

die Elemente aus A_d homogen vom Grad d.

Siehe auch[Bearbeiten]