Homomorphiesatz

Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen Gruppen, Vektorräumen und Ringen gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern, Vektorraumhomomorphismen und Untervektorräumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her. Der Homomorphiesatz lautet:

Ist $f \colon A \to B$ ein Homomorphismus und $\ker (f)$ der Kern von $f$, dann ist der Quotient $A/\ker(f)$ isomorph zum Bild $f(A)$.

Gruppe

Aussage

Ist $f\colon\left(G,\circ\right)\to\left(H,\star\right)$ ein Gruppenhomomorphismus, dann ist der Kern $N\colon =\ker\left(f\right)$ ein Normalteiler von $G$ und die Faktorgruppe $G/N$ ist isomorph zum Bild $f\left(G\right)$. Ein entsprechender Isomorphismus ist gegeben durch $\tilde{f} \colon G/N \rightarrow f(G);gN \mapsto f\left(g\right)$.

Beweis

Der Beweis läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass $\tilde f$ ein Gruppenisomorphismus ist. Sind $aN = bN \in G/N$ zwei Repräsentationen derselben Nebenklasse, dann gibt es Elemente $h, h' \in N$ mit $a \circ h = b \circ h'$. Da $h$ und $h'$ Elemente des Kerns $N$ sind, gilt $f\left(h\right) = f\left(h'\right)= e$. Daraus folgt, dass

$\tilde f (aN)= f(a) = f(a \circ h)= f(b \circ h')= f(b) = \tilde f (bN)$

und $\tilde f$ somit wohldefiniert ist.

Die Abbildung $\tilde f$ ist ein Gruppenhomomorphismus, da für alle Nebenklassen $aN$ und $bN$ von $N$ die Gleichung

$\tilde f \left(aN \circ bN\right)= \tilde f \left(abN\right) = f(ab)= f(a)\star f(b)= \tilde f (aN) \star \tilde f (bN)$

gilt. $\tilde f$ ist zudem injektiv, da

$\ker \left(\tilde f \right)= \left\{gN \mid \tilde f (gN) = e \right\}= \left\{gN \mid f(g) = e \right\}= \left\{gN \mid g \in N \right\}= \{ N \}$

und $N$ das neutrale Element der Faktorgruppe $G/N$ ist.

Ferner ist $\tilde f$ surjektiv, da für jedes $g\colon=f\left(g'\right)\in f\left(G\right)$ gilt: $\tilde{f}\left(g'N\right)=f\left(g'\right)=g$.

Hieraus folgt, dass $\tilde f \colon G/N \rightarrow f(G)$ ein Gruppenisomorphismus ist, und somit $G/N \cong f\left(G\right)$.

Beispiele

• Es stehe $\operatorname{GL}(n,K)$ für die allgemeine lineare Gruppe, dargestellt durch reguläre Matrizen über einem Körper $K$. Die Determinante

$\det \colon \operatorname{GL}(n,K)\to K^*=K\setminus \{0\}$

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der speziellen linearen Gruppe $\operatorname{SL}(n,K)$ der $n\times n$-Matrizen mit Determinante $1$ besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt

$\operatorname{GL}(n,K)/\operatorname{SL}(n,K)\cong K^*$.

Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe $\operatorname{GL}(n,K)$ die Faktorgruppe $\operatorname{GL}(n,K)/\operatorname{SL}(n,K)$ abelsch ist.

• Analog zeigt man:

$\operatorname{O}(n,K)/\operatorname{SO}(n,K)\cong\left\{-1,1\right\}$

wobei $\operatorname{O}(n,K)$ für die orthogonale Gruppe und $\operatorname{SO}(n,K)$ für die spezielle orthogonale Gruppe steht.

• Es stehe $S_n$ für die symmetrische Gruppe. Die Signum-Abbildung $\operatorname{sign}\colon S_n\to\left\{-1,1\right\}$ definiert einen Gruppenhomomorphismus mit $\operatorname{kern}\left(\operatorname{sign}\right)=\operatorname{Alt}_n$ (alternierende Gruppe). Nach dem Homomorphiesatz gilt also:

  $S_n/\operatorname{Alt}_n\cong\left\{-1,1\right\}$

Vektorraum

Ist $f$ ein Vektorraumhomomorphismus, d. h. eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$, dann ist der Kern $\ker(f)$ ein Untervektorraum von $V$ und der Faktorraum $V/{\ker(f)}$ ist isomorph zum Bild $\operatorname{im}(f)$.

Ring

Ist $f\colon R\to S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist der Kern $\ker(f)$ ein Ideal von $R$ und der Faktorring $R/{\ker(f)}$ ist isomorph zum Bild $\operatorname{im}(f)$.

Der Beweis verläuft analog zum Beweis für Gruppen, es muss nur noch gezeigt werden:

$\tilde f\left(aN\cdot bN\right)=\tilde f\left(\left(a\cdot b\right)N\right)=f\left(a\cdot b\right)=f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)=\tilde f\left(aN\right)\cdot\tilde f\left(bN\right)$

Verallgemeinerungen

• Der Satz gilt allgemein in jeder abelschen Kategorie.
• Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie der topologischen Gruppen; allerdings ist das Bild dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen, es handelt sich also im Allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit der induzierten Topologie. Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus, wenn auch seine Umkehrung stetig ist, d. h. wenn er auch ein Homöomorphismus ist.

Literatur

• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 54, S.167-168