Hopf-Faserung

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Die Hopf-Faserung (nach Heinz Hopf) ist eine bestimmte Abbildung im mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abbildung der 3-Sphäre, die man sich als den dreidimensionalen Raum zusammen mit einem unendlich fernen Punkt vorstellen kann, in die 2-Sphäre, also eine Kugeloberfläche:

\eta\colon S^3\to S^2.

Beschreibung der Abbildung[Bearbeiten]

Man erhält sie wie folgt: Zuerst wird die S^3 als Einheitssphäre in den \mathbb{C}^2 eingebettet. Durch (z_1,z_2)\mapsto(z_1/z_2) werden Paare komplexer Zahlen auf ihren Quotienten in \mathbb C\cup\infty = \mathbb R^2\cup\infty abgebildet. Danach bildet man den Bildpunkt mit der Inversen Stereografische Projektion bzgl. des Nordpoles auf die S^2 ab. Um die Abbildung konkret in Formeln anzugeben, gibt es verschiedene Möglichkeiten.

Mit reellen Zahlen[Bearbeiten]

Die Abbildung

\R^4\to\R^3,\quad(x_1,x_2,x_3,x_4)\mapsto(y_1,y_2,y_3)

mit

y_1=2(x_1x_3+x_2x_4)
y_2=2(x_2x_3-x_1x_4)
y_3=x_1^2+x_2^2-x_3^2-x_4^2

bildet die 3-Sphäre \{x\in\R^4\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\} auf die 2-Sphäre \{y\in\R^3\mid y_1^2+y_2^2+y_3^2=1\} ab. Diese Einschränkung ist die Hopf-Abbildung.

Mit komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Die 3-Sphäre werde als die Teilmenge

\{(z,w)\in\mathbb C^2\mid |z|^2+|w|^2=1\}

des zweidimensionalen komplexen Raums aufgefasst, die 2-Sphäre als riemannsche Zahlenkugel. Dann ist die Hopf-Abbildung durch

(z,w)\mapsto\frac zw

gegeben. Fasst man die riemannsche Zahlenkugel als projektive Gerade \mathbb CP^1 auf, so kann man die Abbildung unter Verwendung homogener Koordinaten auch als

(z,w)\mapsto[z:w]

schreiben.

Mit Lie-Gruppen[Bearbeiten]

Die 3-Sphäre ist diffeomorph zur Lie-Gruppe Spin(3), die als Überlagerung der Drehgruppe SO(3) auf der 2-Sphäre operiert. Durch diese Operation erhält man Identifikationen

S^2=SO(3)/SO(2)=Spin(3)/Spin(2)=S^3/S^1.

Beispiel aus der Quantenphysik[Bearbeiten]

Als natürliche Anschauung der Hopf-Faserung lassen sich Quantenzustände nicht relativistischer Elektronen auf der Einheitssphäre darstellen.

Hierbei ist der Zustandsvektor:\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} mit  \psi_1 ,\psi_2 \in \mathbb C gegeben. Ferner sei die Gestalt der Einheitssphäre des 2-dimensionalen Hilbertraums

S(\mathbb{C}^2)=\{ \psi \in \mathbb{C}^2 : ||\psi||=1 \}

Aus dem Skalarprodukt des Quantenzustands

| \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1+i\beta_1 \\ \alpha_2+i\beta_2 \end{pmatrix}

folgt

\langle\psi| \psi\rangle = \alpha_1^2 +\beta_1^2 + \alpha_2^2 +\beta_2^2 = 1

Dieses entspricht der 3-Sphäre.

Zwei Quantenzustände \psi_a,\psi_b \in S(\mathbb{C}^2) sind äquivalent wenn es eine komplexe Zahl bzw. ein Repräsentant der Unitäre Gruppe \lambda \in U(1) gibt, welcher die Forderung  \psi_a=\lambda \psi_b erfüllt. Betrachtet man die gesamte Vereinigungsmenge der Äquivalenzklasse

 [\psi]:=\{ \lambda \psi : \lambda \in U(1), |\lambda|=1\}

auf der Sphäre

S(\mathbb{C}^2)= \bigcup_{S(\psi \in \mathbb{C}^2)} [\psi]

so operiert die U(1) Gruppe auf der Einheitssphäre. Die Mengen der [\psi] werden auch U(1)-Faser genannt. Dargestellt wird diese Menge der U(1)-Faser wie folgt

S(\mathbb{C}^2)/U(1)

Eigenschaften[Bearbeiten]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Die oben angegebene Beschreibung mithilfe komplexer Zahlen kann analog auch mit Quaternionen oder mit Cayley-Zahlen durchgeführt werden; man erhält dann Faserungen

S^3\to S^7\to S^4 bzw. S^7\to S^{15}\to S^8,

die ebenfalls als Hopf-Faserungen bezeichnet werden.

Geschichte[Bearbeiten]

Heinz Hopf gab diese Abbildung 1931 in seiner Arbeit Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche an und zeigte, dass sie nicht nullhomotop ist (genauer: dass ihre Hopf-Invariante gleich 1 ist).

Literatur[Bearbeiten]

  • Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
  • Eberhardt Zeidler: Quantum Field theory I - Basics in Mathematics and Physics. Springer Verlag, 2006, ISBN 3-540-34762-3, S.269ff