Hurwitzsche Zeta-Funktion

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Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) ist eine der vielen bekannten Zeta-Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für komplexe s,q lautet

\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{(q+n)^{s}} \qquad\quad \mathrm{Re}(s)>1 \text{ und Re}(q)>0

Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle s\not=1.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann \zeta(s,1).

Analytische Fortsetzung[Bearbeiten]

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen s\not=1 definiert ist. Bei s=1 liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.

Es gilt dann

\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = \frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)

unter Verwendung der Gammafunktion \Gamma und der Digammafunktion \psi.

Reihendarstellungen[Bearbeiten]

Helmut Hasse fand 1930[1] diese Reihendarstellung:

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s} \qquad\qquad q>-1 \text{ und } s\in\C\setminus \{1\}.

Laurent-Entwicklung[Bearbeiten]

Die Laurent-Entwicklung um s=1 lautet:


    \zeta(s,q) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n(q)}{n!}(s-1)^n\qquad\qquad 0<q\le1

wobei \gamma_n(q) die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten sind:


    \gamma_n(q) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n(k+q)}{k+q} - \frac{\log^{n+1} (N+q)}{n+1}\right)\qquad \quad n=0,1,2,\dots

Fourier-Reihe[Bearbeiten]

\zeta(s,a)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\left(\sin\left(\frac{\pi s}2\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}+\cos\left(\frac{\pi s}2\right)\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}\right)\qquad\qquad\mathrm{Re}(s)<1\text{ und }0<a\le1[2]

Integraldarstellung[Bearbeiten]

\zeta(s,q)=\frac1{\Gamma(s)} \int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}\mathrm dt \qquad\qquad \mathrm{Re}(s)>1 \text{ und } \mathrm{Re}(q)>0

Hurwitz-Formel[Bearbeiten]

Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für 0\le x\le 1 und s>1. Sie lautet:[3]

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-\mathrm i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{\mathrm i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

wobei

\beta(x;s) = 2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi \mathrm inx)} {(2\pi n)^s} = \frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi \mathrm ix})

Dabei bezeichnet \mbox{Li}_s (z) den Polylogarithmus.

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

Für alle s und 1\leq m \leq n gilt

\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = \frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac {\pi s} {2} - \frac {2\pi k m} {n} \right)\; \zeta \left( s,\frac kn \right).

Werte[Bearbeiten]

Nullstellen[Bearbeiten]

Da sich für q=1 und q=\tfrac12 die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von s ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese q hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für 0<q<1 und q\not=\tfrac12 gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen 1<\mathrm{Re}(s)<1+\epsilon mit einem positiv-reellen \epsilon. Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale q von Davenport und Heilbronn[4] bewiesen; für algebraische irrationale q von Cassels.[5]

Rationale Argumente[Bearbeiten]

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen E_n(x) auf:[6]

E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right) \cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}

und

E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}} \sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right) \sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}.

Ferner gilt

\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) = 2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[ C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) + S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) \right]

mit 1\le p \le q. Dabei werden C_\nu(x) und S_\nu(x) wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion \chi_\nu definiert:

C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{\mathrm ix}) \qquad\qquad \text{bzw.} \qquad\qquad S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{\mathrm ix}).

Weitere[Bearbeiten]

Es gilt (Auswahl):[7]

\zeta(s,-1)=\zeta(s)+1\,
\zeta(s,2)=\zeta(s)-1\,
\zeta(s,0)=\zeta(s,1)\,
\zeta\left(s,\frac mn\right)=\frac1n\sum_{k=1}^nn^s\cdot\mathrm{Li}_s\left(e^{\frac{2\pi\mathrm ik}n}\right)e^{-\frac{2\pi\mathrm i km}n}\qquad\qquad m,n\in\N^+\text{ und }m\le n
\zeta(0,a)=\frac12-a
\zeta(2,\tfrac14)=\pi^2+8G
\zeta(2,\tfrac12+\tfrac x\pi)+\zeta(2,\tfrac12-\tfrac x\pi)=\frac{\pi^2}{\cos^2 x}

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

Ableitungen[Bearbeiten]

Es gilt

\frac{\partial^n\zeta(s,a)}{\partial s^n}=\frac{(-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^\infty\frac{\log^n\left((a+k)^2\right)}{\left((a+k)^2\right)^{s/2}}\qquad\qquad -a \notin \N\text{ und }\mathrm{Re}(s)>1\text{ und }n\in\N[8]

bzw.

\frac{\partial^n\zeta(s,a)}{\partial a^n}=(1-n-s)_n\sum_{k=0}^\infty\frac1{(a+k)^n\left((a+k)^2\right)^{s/2}}\qquad\qquad a\notin\N\text{ und }n\in\N[9]

mit dem Pochhammer-Symbol.

Beziehungen zu anderen Funktionen[Bearbeiten]

Bernoulli-Polynome[Bearbeiten]

Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion \beta verallgemeinert die Bernoulli-Polynome B_n(x):

B_n(x) = -\mathrm{Re} \left[ (-\mathrm i)^n \beta(x;n) \right]

Alternativ kann man sagen, dass

\zeta(-n,x)=-\frac{B_{n+1}(x)}{n+1}.

Für n=0 ergibt das

\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.

Jacobische Theta-Funktion[Bearbeiten]

Mit \vartheta (z,\tau), der Jacobischen Theta-Funktion gilt

\int\limits_0^\infty \left[\vartheta (z,\mathrm it) -1 \right] t^{s/2} \frac{\mathrm dt}{t}= 
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left(\frac {1-s}2 \right) \left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right] \qquad\qquad \mathrm{Re}(s)>0\text{ und } z\in\C\,\setminus\,\Z

Ist z=n ganz, vereinfacht sich dies zu

\int\limits_0^\infty \left[\vartheta (n,\mathrm it) -1 \right] t^{s/2} \frac{\mathrm dt}{t}= 2\  \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s) =2\  \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s).

(\zeta mit einem Argument steht für die Riemannsche Zeta-Funktion!)

Polygammafunktion[Bearbeiten]

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen s:

\psi_s(z)=\frac1{\Gamma(-s)}\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(-s)+\gamma\right)\zeta(s+1,z)

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten \gamma.[10]

Auftreten[Bearbeiten]

Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der Zahlentheorie. Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf.

In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian Schwinger[11] vor, die ein genaues Resultat für die Paarbildungs-Rate von in der Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet

\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},

so dass

\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).

Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die Hypergeometrische Funktion ausdrücken:[12]

\zeta(s,a)=a^{-s}\cdot{}_{s+1}F_s(1,a_1,a_2,\ldots a_s;a_1+1,a_2+1,\ldots a_s+1;1)\qquad\qquad a_1=a_2=\ldots=a_s=a\text{ und }a\notin\N\text{ und }s\in\N^+.

Außerdem gilt mit der Meijerschen G-Funktion:[13]

\zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1 \; \left| \; \begin{matrix}0,1-a,\ldots,1-a\\0,-a,\ldots,-a\end{matrix}\right)\right.\qquad\qquad s\in\N^+.

Literatur und Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464.
  2. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
  3. Eric W. Weisstein: Hurwitz's Formula. In: MathWorld (englisch).
  4. H. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185
  5. J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
  6. Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
  7. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
  8. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
  9. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
  10. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  11. J. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679.
  12. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
  13. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/