Hyper-Operator

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Hyper-Operator ist eine Fortsetzung der herkömmlichen mathematischen Operatoren der Addition, Multiplikation und Potenzierung. Er dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen.

\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b)
= \operatorname{hyper}(a, n, b)
= a ^ {(n)} b
= a \uparrow^{n-2} b.

Herleitung der Notation[Bearbeiten]

Ausgehend von den Beobachtungen

  • a + b = 1 + \left( a + (b - 1) \right)
  • a \cdot b = a + \left( a \cdot (b - 1) \right)
  • a^b = a \cdot \left( a^{(b - 1)} \right)

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator (mit a,b,n \ge 0)


  a^{(n)} b:=
\begin{cases}
  b + 1, & \text{wenn } n = 0\\
  a,  & \text{wenn }n = 1, b = 0\\
  0, & \text{wenn }n = 2, b = 0\\
  1, & \text{wenn }n > 2, b = 0\\
  a^{(n-1)} \left( a^{(n)} (b - 1) \right) & \text{sonst}
\end{cases}

und führt folgende Bezeichnungen ein:

\operatorname{hyper} \mathit{n} (a, b)
= \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^{(n)} b.

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermaßen notiert werden:

\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a.

Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl a b-mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.

Die Familie wurde für n>3 nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Knuths Pfeilnotation[Bearbeiten]

Siehe Hauptartikel: Pfeilschreibweise.

Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist


 a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k \mbox{ mal}} b :=
 \left\{
   \begin{matrix}
   a^b & \mbox{falls } k=1\\
   \underbrace{a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} \dotsb \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{k-1 \mbox{ mal}} a}_{b \mbox{ mal}} & \mbox{sonst}
   \end{matrix}
 \right.

Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils \uparrow das Zeichen \hat{\hbox{ }}. Mit der Definition gilt gerade

a \underbrace{\uparrow \dotsb \uparrow}_{n \mbox{ mal}} b = a \underbrace{\hat{\hbox{ }} \dotsb \hat{\hbox{ }}}_{n \mbox{ mal}} b = \operatorname{hyper}(a, n+2, b) = a^{(n+2)}b.

Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt.

Eine andere Erweiterung[Bearbeiten]

Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch

  • \,a+b = (a+(b-1))+1
  • a\cdot b = (a\cdot (b-1))+a
  • a^b = \left(a^{(b-1)} \right)\cdot a,

weil die Verknüpfungen + und \cdot kommutativ sind. Daraus ergibt sich die Definition


 a_{(n)} b:=
\begin{cases}
   a+b, & \text{wenn }n=1 \\
   0, & \text{wenn }n=2,b=0 \\
   1, & \text{wenn }n>2,b=0 \\
   \left( a_{(n)} (b - 1) \right)_{(n-1)}a, & \text{sonst.}
\end{cases}

Diese Notation „kollabiert“ jedoch für n=4; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenzturm mehr:

a_{(4)}b = a^{\left(a^{(b-1)}\right) }

Wie können sich a^{(n)}b and a_{(n)}b plötzlich für n>3 unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren + und \cdot besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{b\cdot c}.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt „niedere Hyper-Operatoren“ von Interesse ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

3^{(1)} 3 = 3 + 3 = 6.

Multiplikation[Bearbeiten]

3^{(2)} 3 = 3 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 = 9.

Potenz[Bearbeiten]

3^{(3)} 3 = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3=27.

Tetration[Bearbeiten]


\begin{align}
3^{(4)}3 & = 3^{3^{3}}\\
& = 3^{(3)}(3^{(4)}2)\\
& = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))\\
& = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)))\\
& = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))\\
& = 3^{3^{3^{1}}}\\
& = 3^{27}\\
& = 7.625.597.484.987.
\end{align}

Zu beachten ist hier, dass 3^{3^{3}} = 3^{(3^{3})} gilt, siehe hierzu auch bei Potenzturm.

Weblinks (englisch)[Bearbeiten]