Hyperebene
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Eine affine Hyperebene ist die Verallgemeinerung einer normalen Ebene im dreidimensionalen Raum auf allgemeine Vektorräume. Eine (affine) Hyperebene ist ein (affiner) Unterraum eines Vektorraumes mit Kodimension 1.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Ein wichtiger Zusammenhang besteht zwischen Hyperebenen topologischer Vektorräume und linearen Funktionalen.
- Der Kern jedes linearen Funktionals, das nicht 0 ist, ist eine Hyperebene.
- Zu jeder Hyperebene existiert ein lineares Funktional, so dass der Kern des Funktionals die Hyperebene ist.
- Ein Funktional ist genau dann stetig, wenn der Kern abgeschlossen ist.
- Eine Hyperebene ist entweder abgeschlossen oder liegt dicht im Vektorraum.
[Bearbeiten] Hyperebenen im endlichdimensionalen Raum
- Im eindimensionalen Raum sind einelementige Teilmengen Hyperebenen, also jeweils Mengen, die aus einem Punkt bestehen.
- Im zweidimensionalen Raum sind die Geraden die Hyperebenen.
- Im dreidimensionalen Raum ist jede Ebene eine Hyperebene.
- Ist der zugrunde liegende Vektorraum endlichdimensional mit Dimension n, so sind die (affinen) Hyperebenen gerade die (affinen) Unterräume mit Dimension n − 1.
