Hypergeometrische Funktion

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Die hypergeometrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die die geometrische Reihe verallgemeinert. Sie wird zur Klasse der speziellen Funktionen gezählt und ist eine Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung.

Die hypergeometrische Funktion enthält viele wichtige Funktionen als Spezialfälle, allen voran die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. In der Tat gibt es eine große Zahl von Funktionen, die sich als eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen.

Definition[Bearbeiten]

Die hypergeometrische Funktion wird definiert durch

{}_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)=\sum_{k=0}^\infty\prod_{i=1}^p\frac{\Gamma(k+a_i)}{\Gamma(a_i)}\prod_{j=1}^q\frac{\Gamma(b_j)}{\Gamma(k+b_j)}\frac{z^k}{k!};\quad p,q\in \mathbb{N}_0,

wobei \Gamma(x) die Gammafunktion ist.

Beispiele[Bearbeiten]

{}_0F_0\left(;;z\right)=e^z

{}_1F_0\left(-a;;-z\right)=(1+z)^a

{}_0F_1\left(;\frac{1}{2};-\frac{z^2}{4}\right)=\cos z

{}_0F_1\left(;\frac{3}{2};-\frac{z^2}{4}\right)=\frac{\sin z}{z}

{}_2F_1\left(1,1;2;-z\right)=\frac{1}{z}\ln (1+z)

{}_2F_1\left(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^2\right)=\frac{1}{2z}\ln \frac{1+z}{1-z}

{}_2F_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2\right)=\frac{1}{z}\arcsin z

{}_2F_1\left(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2\right)=\frac{1}{z}\arctan z

{}_0F_1\left(;1+a;-\frac{z^2}{4}\right)=\Gamma(a+1)\cdot\left(\frac{z}{2}\right)^{-a} \cdot J_a(z)\quad wobei Ja(z) die Besselfunktion ist

{}_0F_1\left(;1+a;\frac{z^2}{4}\right)=\Gamma(a+1)\left(\frac{z}{2}\right)^{-a} \cdot I_a(z)\quad mit I_a(z)=e^{-i\frac{\pi}{2}a}J_a(z) (modifizierte Besselfunktion)

{}_1F_1\left(a;a+1;-z\right)=az^{-a}\gamma(a,z) (γ(a,z) stellt die unvollständige Gammafunktion dar)

{}_1F_1\left(1;a+1;z\right)=az^{-a}e^z\gamma(a,z)

Beweise[Bearbeiten]

Beweisen wir nun die ersten Beispiele. Das ez ist bereits im Eingangstext als offensichtlich bewiesen worden, daher nehmen wir nun die Kosinusfunktion:

\begin{align}
{}_0F_1\left(;\tfrac{1}{2};-\tfrac{z^2}{4}\right)&=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(k+\frac{1}{2})}\frac{(-\frac{z^2}{4})^k}{k!}\\
&=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{(-\frac{z^2}{4})^0}{0!}+\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2})}\frac{-\frac{z^2}{4}}{1}+\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{5}{2})}\frac{(-\frac{z^2}{4})^2}{2}+\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{7}{2})}\frac{(-\frac{z^2}{4})^3}{2\cdot3}+\cdots\\
&=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{1}{1}+\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{-z^2}{4}+\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{(\frac{z^4}{16})}{2}+\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}\frac{-z^6}{4^3\cdot3!}+\cdots
\end{align}

Hier nutzten wir, dass Γ(x+1)=xΓ(x) ist und somit Γ(3/2)=1/2·Γ(1/2) usw. Wie man sieht, kürzen sich die Terme Γ(1/2) überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu

{}_0F_1(;\tfrac{1}{2};-\tfrac{z^2}{4})=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k)!}=\cos z

Versuchen wir noch, das Polynombeispiel für a=1 zu beweisen:

{}_1F_0(-a;;-z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma(k-1)}{\Gamma(-1)}\frac{(-z)^k}{k!}=\frac{\Gamma(-1)}{\Gamma(-1)}\frac{1}{1}+\frac{\Gamma(0)}{\Gamma(-1)}\frac{(-z)}{1}+\frac{\Gamma(1)}{\Gamma(-1)}\frac{(-z)^2}{2}+\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(-1)}\frac{(-z)^3}{6}+\cdots

Da die Gammafunktion bei ganzzahlig negativen Werten Singularitäten aufweist, müssen hier streng genommen Grenzwerte gebildet werden. Im Grenzfall gehen dann \tfrac{\Gamma(x>0)}{\Gamma(-1)} gegen 0, weil der Zähler endlich, der Nenner jedoch unendlich wird. Bei den ersten beiden Gliedern gehen Zähler wie Nenner im Bruch gegen unendlich. Da es sich jeweils um einfache Polstellen handelt, haben die Quotienten aber endliche Grenzwerte: \lim_{x\to-1}\tfrac{\Gamma(x)}{\Gamma(x)}=1 und \lim_{x\to-1}\tfrac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x)}=-1. Übrig bleibt das endliche Polynom 1+z. Diese Vorgehensweise ist immer die gleiche, wenn man Polynome als hypergeometrischen Funktion schreiben will.

Hypergeometrische Differentialgleichung[Bearbeiten]

Die hypergeometrische Funktion {}_2 F_1(a,b;c;z) ist eine Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung

\frac {d^2w}{dz^2} +
\frac{c-(a+b+1)z}{z(1-z)} \frac {dw}{dz} - \frac{ab}{z(1-z)}w = 0.[1]

Leonhard Euler gab eine Integraldarstellung für diese Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:

{}_2 F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}\int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-zt)^{-a}\mathrm{dt}.

Jede Differentialgleichung mit drei regulären singulären Punkten kann durch Transformation der Variablen in die Hypergeometrische Differentialgleichung überführt werden.

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Die hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem k einführt und so die Komplexität der Funktion weiter erhöht. Allein um das Vorzeichen von k zu modifizieren wären zwei weitere Indizes nötig:

\begin{align}
&F_{pqrs}(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;c_1,\dots,c_r;d_1,\dots,d_s;z)\\
&\qquad\qquad=\sum_{k=0}^\infty\prod_{i=1}^p\frac{\Gamma(k+a_i)}{\Gamma(a_i)}\prod_{j=1}^q\frac{\Gamma(-k+b_j)}{\Gamma(b_j)}\prod_{l=1}^r\frac{\Gamma(c_l)}{\Gamma(k+c_l)}\prod_{m=1}^s\frac{\Gamma(d_m)}{\Gamma(-k+d_m)}\frac{z^k}{k!}
\end{align}

Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig, so erhält man als Verallgemeinerung die Fox–Wright Funktionen.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Hypergeometric Function. In: MathWorld (englisch).